Dinàmica d’un Sistema amb Molla i Conservació d’Energia i Moment

Un bloc de massa \( m_b = 50 \, \text{kg} \) està en contacte amb una molla de constant elàstica \( k = 300 \, \text{N/m} \) i massa negligible, comprimida una distància de \( 0,2 \, \text{m} \). El conjunt es troba sobre una vagoneta de massa \( m_v = 75 \, \text{kg} \), les rodes de la qual tenen massa negligible. El sistema es deixa anar des del repòs, i el bloc llisca sense fricció sobre la vagoneta. Determineu les velocitats del blocs i de la vagoneta en l’instant en què el bloc perd el contacte amb la molla.

Per resoldre aquest problema, analitzarem la situació pas a pas. Tenim un bloc de 50 kg en contacte amb una molla de constant elàstica \( k = 300 \, \text{N/m} \), comprimida 0,2 m, sobre una vagoneta de 75 kg. No hi ha fricció entre el bloc i la vagoneta, i les rodes de la vagoneta són de massa negligible, per la qual cosa assumirem que no hi ha fricció amb el terra. Quan es deixa anar el sistema, la molla empeny el bloc fins que aquest perd el contacte amb la molla. Volem determinar les velocitats del bloc i de la vagoneta en l’instant en què el bloc perd el contacte amb la molla.

Pas 1: Anàlisi del sistema i condicions inicials

• Masses:

• Bloc: \( m_b = 50 \, \text{kg} \)

• Vagoneta: \( m_v = 75 \, \text{kg} \)

• Molla:

• Constant elàstica: \( k = 300 \, \text{N/m} \)

• Compressió inicial: \( x_0 = 0.2 \, \text{m} \)

• Condicions inicials:

• El sistema (bloc + vagoneta) està inicialment en repòs.

• La molla està comprimida 0,2 m, per tant, emmagatzema energia potencial elàstica.

• Suposicions:

• No hi ha fricció entre el bloc i la vagoneta ni entre la vagoneta i el terra (ja que les rodes són de massa negligible i no s’esmenta fricció).

• La molla té massa negligible, per la qual cosa la seva energia cinètica és negligible.

• El bloc perd el contacte amb la molla quan la molla torna a la seva longitud natural (\( x = 0 \)), ja que en aquest punt la força de la molla sobre el bloc esdevé zero.

• Objectiu:

• Trobar les velocitats del bloc (\( v_b \)) i de la vagoneta (\( v_v \)) en l’instant en què el bloc perd el contacte amb la molla.

Pas 2: Conservació del moment lineal. Com que no hi ha forces externes horitzontals actuant sobre el sistema (no hi ha fricció ni altres forces externes esmentades), el moment lineal total del sistema (bloc + vagoneta) es conserva en la direcció horitzontal.

Moment inicial: Inicialment, el sistema està en repòs, per tant, el moment lineal inicial és:\[ p_{\text{inicial}} = 0 \]

Moment final: Quan el bloc perd el contacte amb la molla (quan la molla està a la seva longitud natural, \( x = 0 \)), el bloc i la vagoneta tenen velocitats \( v_b \) i \( v_v \), respectivament. Suposem que el bloc es mou cap a la dreta (direcció positiva) i la vagoneta cap a l’esquerra (direcció negativa) per mantenir el moment conservat. El moment lineal final és:\[ p_{\text{final}} = m_b v_b + m_v v_v \]Per la conservació del moment:\[ m_b v_b + m_v v_v = 0 \]Substituïm les masses:\[ 50 v_b + 75 v_v = 0 \]\[ v_v = -\frac{50}{75} v_b = -\frac{2}{3} v_b \]Aquesta equació ens dona una relació entre les velocitats del bloc i la vagoneta.

Pas 3: Conservació de l’energia mecànica. Com que no hi ha fricció ni altres forces dissipatives, l’energia mecànica total del sistema es conserva. L’energia inicial està emmagatzemada com energia potencial elàstica de la molla, i l’energia final es distribueix com energia cinètica del bloc i la vagoneta quan la molla torna a la seva longitud natural.

Energia inicial :La molla està comprimida 0,2 m, per tant, l’energia potencial elàstica inicial és:\[ E_{\text{elàstica}} = \frac{1}{2} k x_0^2 \]Substituïm \( k = 300 \, \text{N/m} \), \( x_0 = 0.2 \, \text{m} \):\[ E_{\text{elàstica}} = \frac{1}{2} \cdot 300 \cdot (0.2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 300 \cdot 0.04 = 6 \, \text{J} \]No hi ha energia cinètica inicial, ja que el sistema està en repòs. Per tant, l’energia inicial total és:\[ E_{\text{inicial}} = 6 \, \text{J} \]

Energia final: Quan la molla torna a la seva longitud natural (\( x = 0 \)), l’energia potencial elàstica és zero (\( E_{\text{elàstica}} = 0 \)). Tota l’energia s’ha convertit en energia cinètica del bloc i la vagoneta:\[ E_{\text{cinètica}} = \frac{1}{2} m_b v_b^2 + \frac{1}{2} m_v v_v^2 \]Substituïm \( m_b = 50 \, \text{kg} \), \( m_v = 75 \, \text{kg} \), i \( v_v = -\frac{2}{3} v_b \):\[ v_v^2 = \left( -\frac{2}{3} v_b \right)^2 = \frac{4}{9} v_b^2 \]L’energia cinètica total és:\[ E_{\text{cinètica}} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot v_b^2 + \frac{1}{2} \cdot 75 \cdot \frac{4}{9} v_b^2 \]\[ = 25 v_b^2 + \frac{75 \cdot 4}{18} v_b^2 = 25 v_b^2 + \frac{300}{18} v_b^2 = 25 v_b^2 + \frac{50}{3} v_b^2 \]Sumem els termes:\[ E_{\text{cinètica}} = \left( 25 + \frac{50}{3} \right) v_b^2 = \left( \frac{75}{3} + \frac{50}{3} \right) v_b^2 = \frac{125}{3} v_b^2 \]Per la conservació de l’energia:\[ E_{\text{inicial}} = E_{\text{final}} \]\[ 6 = \frac{125}{3} v_b^2 \]

Pas 4: Calcular \( v_b \). Resolem per \( v_b^2 \):\[ v_b^2 = 6 \cdot \frac{3}{125} = \frac{18}{125} \]\[ v_b^2 = 0.144 \]\[ v_b = \sqrt{0.144} = 0.12 \, \text{m/s} \]Per tant, la velocitat del bloc és:\[ v_b = 0.12 \, \text{m/s} \quad (\text{cap a la dreta, direcció positiva}) \]

Pas 5: Calcular \( v_v \). Utilitzem la relació obtingUDA de la conservació del moment:\[ v_v = -\frac{2}{3} v_b \]Substituïm \( v_b = 0.12 \, \text{m/s} \):\[ v_v = -\frac{2}{3} \cdot 0.12 = -0.08 \, \text{m/s} \]Per tant, la velocitat de la vagoneta és:\[ v_v = -0.08 \, \text{m/s} \quad (\text{cap a l’esquerra, direcció negativa}) \]

Pas 6: Verificació. Per assegurar-nos que els càlculs són correctes, verifiquem la conservació del moment i l’energia:

Conservació del moment: \[ p_{\text{final}} = m_b v_b + m_v v_v = 50 \cdot 0.12 + 75 \cdot (-0.08) \]\[ = 6 – 6 = 0 \]El moment final és zero, igual que el moment inicial. Això és correcte.

Conservació de l’energia :Energia cinètica del bloc:\[ E_{c,b} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot (0.12)^2 = 25 \cdot 0.0144 = 0.36 \, \text{J} \]Energia cinètica de la vagoneta:\[ E_{c,v} = \frac{1}{2} \cdot 75 \cdot (0.08)^2 = \frac{75}{2} \cdot 0.0064 = 37.5 \cdot 0.0064 = 0.24 \, \text{J} \]Energia cinètica total:\[ E_{\text{cinètica}} = 0.36 + 0.24 = 0.6 \, \text{J} \]Hi ha una discrepància, ja que l’energia inicial era 6 J. Això suggereix un error en els càlculs numèrics. Tornem a calcular \( v_b^2 \):\[ v_b^2 = \frac{18}{125} = 0.144 \]\[ v_b = \sqrt{0.144} \approx 0.379 \, \text{m/s} \]Recalculem:\[ v_b \approx 0.379 \, \text{m/s} \]\[ v_v = -\frac{2}{3} \cdot 0.379 \approx -0.253 \, \text{m/s} \]Verifiquem l’energia amb aquests valors:Energia cinètica del bloc:\[ E_{c,b} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot (0.379)^2 \approx 25 \cdot 0.143641 = 3.591 \, \text{J} \]Energia cinètica de la vagoneta:\[ E_{c,v} = \frac{1}{2} \cdot 75 \cdot (0.253)^2 \approx 37.5 \cdot 0.064009 \approx 2.400 \, \text{J} \]Energia total:\[ E_{\text{cinètica}} \approx 3.591 + 2.400 = 5.991 \, \text{J} \]Aquest valor és molt proper a 6 J, la qual cosa indica que els càlculs són consistents (la petita diferència es deu a l’arrodoniment).

Resposta final. Les velocitats del bloc i la vagoneta quan el bloc perd el contacte amb la molla són:

• Velocitat del bloc:\[ v_b \approx 0.38 \, \text{m/s} \quad (\text{cap a la dreta}) \]

• Velocitat de la vagoneta:\[ v_v \approx -0.25 \, \text{m/s} \quad (\text{cap a l’esquerra}) \]