Càlculs amb vectors en l’espai

Donats els vectors:\begin{equation}\vec{A} = 5\hat{\imath} + 4\hat{\jmath} + 3\hat{k}, \quad \vec{B} = -2\hat{\jmath} + \hat{k}\label{eq:vectors}\end{equation}Resolem els apartats següents:

a) Càlcul dels mòduls. El mòdul del vector $\vec{A}$ és:\begin{equation}|\vec{A}| = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50}=5\sqrt{2}\label{eq:modulA}\end{equation}El mòdul del vector $\vec{B}$ és:\begin{equation}|\vec{B}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\label{eq:modulB}\end{equation}

b) Productes escalar i vectorial. Producte escalar:\begin{equation}\vec{A} \cdot \vec{B} = (5)(0) + (4)(-2) + (3)(1) = -8 + 3 = -5\tag{1}\label{eq:escalar}\end{equation}Producte vectorial (determinant de matriu):\begin{equation}\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix}\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\5 & 4 & 3 \\0 & -2 & 1 \\\end{vmatrix}= 10\hat{\imath} – 5\hat{\jmath} – 10\hat{k}\tag{2}\label{eq:vectorial}\end{equation}

c) Angle entre els vectors. Cosinus de l’angle $\theta$:\begin{equation}\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} = \frac{-5}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-5}{\sqrt{250}} = \frac{-5}{15.81} \approx -0.316\label{eq:cosangle}\end{equation}Angle:\begin{equation}\theta = \arccos(-0.316) \approx 108.5^\circ\label{eq:angle}\end{equation}

d) Vector unitari perpendicular a $\vec{A}$ i $\vec{B}$. Sabem que el producte vectorial \eqref{eq:vectorial} dona un vector perpendicular a $\vec{A}$ i $\vec{B}$. Cal trobar el seu vector unitari:\begin{equation}|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{10^2 + (-5)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 25 + 100} = \sqrt{225} = 15\label{eq:modulcross}\end{equation}Per tant, el vector unitari és:\begin{equation}\hat{u} = \frac{1}{15}(10\hat{\imath} – 5\hat{\jmath} – 10\hat{k}) = \frac{2}{3}\hat{\imath} – \frac{1}{3}\hat{\jmath} – \frac{2}{3}\hat{k}\label{eq:unitari}\end{equation}