Mirall esfèric concau

Considereu un mirall esfèric còncau de radi $r = 6\,\text{cm}$ (alternativament, un mirall esfèric de radi $r = -6\,\text{cm}$). Trobeu de forma analítica i gràfica la posició de la imatge. Calculeu també l’altura de la imatge suposant que l’objecte té una altura de $3\,\text{cm}$, a) $s = -8\,\text{cm}$ b) $s = -4\,\text{cm}$ c) $s = -2\,\text{cm}$

a) L’equació que ens permet trobar la imatge és:

$$\frac{1}{s} + \frac{1}{s’} = \frac{2}{r}$$

Fent servir les dades de l’apartat:

$$\frac{1}{-8} + \frac{1}{s’} = \frac{2}{-6}$$

d’on:

$$\frac{1}{s’} = -\frac{2}{6} + \frac{1}{8} = \frac{-16 + 6}{48} = -\frac{10}{48} \quad \rightarrow \quad s’ = \frac{48}{-10} = -4,8 \, \text{cm}$$

Si calculem l’augment lateral $\beta’$, (en miralls $\beta’ = -\frac{s’}{s}$):

$$\beta’ = -\frac{s’}{s} = -\frac{-4,8}{-8} = -0,6$$

Això ens indica que la imatge és real (es forma a partir de la intersecció de raigs reals), invertida i més petita que l’original, tal com es comprova a la solució gràfica.

L’altura de la imatge serà:

$$y’ = y \cdot \beta’ = 3 \cdot (-0,6) = -1,8 \, \text{cm}$$

b) Ara tenim:

$$\frac{1}{-4} + \frac{1}{s’} = \frac{2}{-6}$$

d’on:

$$\frac{1}{s’} = -\frac{2}{6} + \frac{1}{4} = \frac{-8 + 6}{24} = -\frac{2}{24} \quad \rightarrow \quad s’ = \frac{24}{-2} = -12 \, \text{cm}$$

Si calculem l’augment lateral $\beta’$:

$$\beta’ = -\frac{s’}{s} = -\frac{-12}{-4} = -3$$

La imatge és real, invertida i més gran que l’original.

L’altura de la imatge serà:

$$y’ = y \cdot \beta’ = 3 \cdot (-3) = -9 \, \text{cm}$$

c) En aquest darrer cas:

$$\frac{1}{-2} + \frac{1}{s’} = \frac{2}{-6}$$

d’on:

$$\frac{1}{s’} = \frac{2}{-6} + \frac{1}{2} = \frac{4 – 6}{-12} = \frac{-2}{-12} \quad \rightarrow \quad s’ = \frac{12}{2} = 6 \, \text{cm}$$

L’augment lateral $\beta’$ val ara:

$$\beta’ = -\frac{s’}{s} = -\frac{6}{-2} = 3$$

La imatge és virtual (es forma a partir d’almenys un raig virtual), dreta i més gran que l’original.

L’altura de la imatge serà:

$$y’ = y \cdot \beta’ = 3 \cdot 3 = 9 \, \text{cm}$$