Mida de mostra per a control de qualitat. Inferència estadística

Una empresa farmacèutica està produint comprimits i, com a part del control de qualitat, es desitja mesurar el diàmetre dels comprimits. Se sap que el diàmetre $X$ segueix una distribució normal amb desviació típica $\sigma = 1{,}3\ \text{mm}$. L’empresa vol obtenir una mesura del diàmetre amb un error inferior a $0,1$ mm i amb un nivell de confiança del $99\%$. Quina mida ha de tenir la mostra per assolir aquest objectiu?

Suposem que la població té una distribució normal i que es coneix la variància. El nivell de confiança és $nc = 0{,}99$. $$\Phi(z_{\alpha/2}) = nc + \frac{1}{2} = 0{,}995 \Rightarrow z_{\alpha/2} = 2{,}58$$

L’error al fer servir la mitjana mostral per estimar el diàmetre és: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \text{(semiamplada de l’interval de confiança)}$$

Imposem la condició: $$\frac{2{,}58 \cdot 1{,}3}{\sqrt{n}} < 0{,}1 \quad \Rightarrow \sqrt{n} > \frac{2{,}58 \cdot 1{,}3}{0{,}1} = 33{,}54 \Rightarrow n > 1125{,}5$$

Per tant, cal agafar una mostra de com a mínim: $$\boxed{1126\ \text{comprimits}}$$