Estimació d’un interval de confiança per a una proporció

Per estimar la proporció d’estudiants d’una universitat que està a favor d’un augment de l’import de les beques, es va entrevistar aleatòriament $500$ estudiants, dels quals $465$ van respondre afirmativament. Calculem l’interval de confiança al $98\%$ en què es troba la proporció de la població universitària que està a favor de l’augment.

La proporció mostral és: $$\hat{p} = \frac{465}{500} = 0{,}93$$

Amb un nivell de confiança del $98\%$, el valor crític corresponent és: $$z_{\alpha/2} = 2{,}326$$

Verifiquem que podem aplicar l’aproximació normal:

• $n\hat{p} = 500 \cdot 0{,}93 = 465 \ge 5$
• $n(1 – \hat{p}) = 500 \cdot 0{,}07 = 35 \ge 5$

L’interval de confiança és: $$IC = \left( \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}} \right) = \left( 0{,}93 \pm 2{,}326 \cdot \sqrt{\frac{0{,}93 \cdot 0{,}07}{500}} \right)$$ $$= \left( 0{,}93 \pm 0{,}0265 \right) = (0{,}9035 ; 0{,}9565)$$

Per tant, amb un $98\%$ de confiança, la proporció d’estudiants que estan a favor d’un augment de les beques està entre el $90,35\%$ i el $95,65\%$.