Estimació del Percentatge d’Alumnes que Aproven Totes les Assignatures amb un Interval de Confiança al 97 %

En una universitat es pren, a l’atzar, una mostra de $400$ alumnes i s’observa que $160$ d’ells han aprovat totes les assignatures. (a) Calculeu un interval de confiança, al $97\%$, per estimar el percentatge d’alumnes d’aquesta universitat que aproven totes les assignatures. (b) A partir del resultat anterior, es pretén repetir l’experiència per aconseguir que l’error no sigui superior a $0,04$, amb el mateix nivell de confiança. Quants alumnes, com a mínim, ha de tenir la mostra?

(Apartat a) La proporció mostral d’alumnes que han aprovat totes les assignatures, en una mostra de mida $n = 400$, és de $\hat{p} = \frac{160}{400} = 0,4$. Al $97\%$ de confiança, el valor crític associat és $z_{\alpha/2} = 2,017$. Com que $n \geq 30$, $n \cdot \hat{p} = 160 \geq 5$ i $n \cdot (1 – \hat{p}) = 400 \cdot 0,6 = 240 \geq 5$, l’interval de confiança per a la proporció d’alumnes que han aprovat totes les assignatures en aquesta universitat és:

$$IC = \left[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 – \hat{p})}{n}} \right] = \left[ 0,4 \pm 2,017 \cdot \sqrt{\frac{0,4 \cdot 0,6}{400}} \right] \approx \left[ 0,4 \pm 0,0168 \right] = [0,232; 0,568]$$

Això significa que, amb un $97\%$ de confiança, el percentatge d’alumnes d’aquesta universitat que aproven totes les assignatures està entre el $23,2\%$ i el $56,8\%$.

(Apartat b) Si l’error màxim admissible es fixa en $E_0 = 0,04$, llavors la mida mostral ha de complir:

$$n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot (1 – \hat{p})}{E_0^2} = \frac{2,017^2 \cdot 0,4 \cdot 0,6}{0,04^2} \approx 706,34$$

Això significa que, per aconseguir que l’error sigui inferior a $0,04$, amb un $97\%$ de confiança, hem de prendre una mostra aleatòria d’almenys $707$ alumnes.