Estimació de la Proporció d’Alumnes amb Reproductors de MP3 mitjançant un Interval de Confiança al 96 %

Per realitzar una enquesta en un institut, es selecciona aleatòriament una mostra de $50$ alumnes i se’ls pregunta si tenen reproductors de MP3, contestant afirmativament $20$ d’ells. Calculeu un interval de confiança, al $96\%$, per a la proporció d’alumnes que tenen reproductors de MP3 en la població total d’alumnes de l’institut.

La proporció mostral d’alumnes que tenen un reproductor de MP3, en una mostra de mida $n = 50$, és de $\hat{p} = \frac{20}{50} = 0,4$. Al $96\%$ de confiança, el valor crític associat és $z_{\alpha/2} = 2,055$. Com que $n \geq 30$, $n \cdot \hat{p} = 20 \geq 5$ i $n \cdot (1 – \hat{p}) = 50 \cdot 0,6 = 30 \geq 5$, l’interval de confiança per a la proporció d’alumnes que tenen un reproductor de MP3 és:

$$IC = \left[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 – \hat{p})}{n}} \right] = \left[ 0,4 \pm 2,055 \cdot \sqrt{\frac{0,4 \cdot 0,6}{50}} \right] \approx \left[ 0,4 \pm 0,142 \right] = [0,258; 0,542]$$

Això significa que, amb un 96 % de confiança, el percentatge d’alumnes que tenen un reproductor de MP3 està entre el 25,8 % i el 54,2 %.