Llançament de moneda. Inferència estadística

S’ha llançat una moneda a l’aire $200$ vegades i s’ha obtingut cara en $120$ ocasions. (a) Estimeu, mitjançant un interval de confiança al $90\%$, la probabilitat d’obtenir cara. (b) Es pretén repetir l’experiència per aconseguir que l’error comès sigui inferior a $0,03$, amb un nivell de confiança del $97\%$. Quin ha de ser el tamany mínim de la mostra?

(Apartat a) La proporció mostral de les cares obtingudes, en una mostra de mida $n = 200$, és de $\hat{p} = \frac{120}{200} = 0,6$. Al $90\%$ de confiança, el valor crític associat és $z_{\alpha/2} = 1,645$. Com que $n \geq 30$, $n \cdot \hat{p} = 120 \geq 5$ i $n \cdot (1 – \hat{p}) = 200 \cdot 0,4 = 80 \geq 5$, l’interval de confiança per a la proporció de cares és:

$$IC = \left[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 – \hat{p})}{n}} \right] = \left[ 0,6 \pm 1,645 \cdot \sqrt{\frac{0,6 \cdot 0,4}{200}} \right] \approx \left[ 0,6 \pm 0,057 \right] = [0,543; 0,657]$$

Això significa que, amb un 90 % de confiança, el percentatge de cares que apareixeran en llançar la moneda està entre el 54,3 % i el 65,7 %.

(Apartat b) Si l’error màxim admissible es fixa en $E_0 = 0,03$, al 97 % de confiança (amb un valor crític associat de 2,017), la mida mostral $n$ ha de complir:

$$n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot (1 – \hat{p})}{E_0^2} = \frac{2,017^2 \cdot 0,6 \cdot 0,4}{0,03^2} \approx 1255,071$$

Això significa que, per aconseguir que l’error sigui inferior a 0,03, amb un 97 % de confiança, hem de fer una mostra aleatòria d’almenys $1256$ llançaments de la moneda.