Estimació de la Proporció de Llars amb Connexió a Internet amb un Interval de Confiança al 93 %

Amb les dades d’una mostra aleatòria, s’estima que el percentatge de llars amb connexió a Internet és del $30\%$, amb un error màxim de l’estimació de $0,06$ i un nivell de confiança del $93\%$. (a) Obtingueu l’interval de confiança, al $93\%$, de la proporció de llars amb connexió a Internet. (b) Calculeu la mida mínima de la mostra utilitzada.

(a) La proporció mostral és $\hat{p} = 0,3$, i l’error màxim de l’estimació és $E = 0,06$. Per a un nivell de confiança del 93 %, l’interval de confiança per a la proporció de llars amb connexió a Internet es calcula com:

$$IC = \left[ \hat{p} \pm E \right] = \left[ 0,3 \pm 0,06 \right] = [0,24; 0,36]$$

Això significa que, amb un 93 % de confiança, la proporció de llars amb connexió a Internet està entre el 24 % i el 36 %.

(b) Per calcular la mida mínima de la mostra, utilitzem la fórmula de l’error màxim:

$$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 – \hat{p})}{n}}$$

on $E = 0,06$, $\hat{p} = 0,3$, i $z_{\alpha/2}$ és el valor crític per a un nivell de confiança del 93 %. Per a un 93 % de confiança, $\alpha = 0,07$, de manera que $\alpha/2 = 0,035$, i el valor crític $z_{\alpha/2} \approx 1,812$ (obtingut de la taula de la distribució normal estàndard).

Reorganitzant la fórmula per trobar $n$:

$$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot (1 – \hat{p})}{E^2}$$

Substituint els valors:

$$n = \frac{1,812^2 \cdot 0,3 \cdot 0,7}{0,06^2} = \frac{3,2832 \cdot 0,21}{0,0036} \approx \frac{0,689472}{0,0036} \approx 191,52$$

Com que la mida de la mostra ha de ser un nombre enter, es pren el valor immediatament superior. Per tant, la mida mínima de la mostra és:

$$n \geq 192$$