Estimació de la Mitjana Poblacional amb una Distribució Normal i Interval de Confiança al 93 %

En una població, una variable aleatòria segueix una llei normal amb desviació típica $8$. S’ha escollit, a l’atzar, una mostra de mida $100$ i la seva mitjana ha estat $67$. (a) Calculeu l’interval de confiança, al $93\%$, per a la mitjana de la població. (b) Quants dades, com a mínim, són necessàries per estimar, amb un nivell de confiança del $99\%$, la mitjana de la població amb un error no superior a $2$?

(a) Per calcular l’interval de confiança al 93 % per a la mitjana de la població, utilitzem la fórmula:

$$IC = \left[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]$$

on $\bar{x} = 67$ és la mitjana mostral, $\sigma = 8$ és la desviació típica de la població, $n = 100$ és la mida de la mostra, i $z_{\alpha/2}$ és el valor crític per a un nivell de confiança del 93 %. Com que $\alpha = 0,07$, tenim $\alpha/2 = 0,035$, i el valor crític és $z_{\alpha/2} \approx 1,812$ (obtingut de la taula de la distribució normal estàndard).

L’error estàndard és:

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{100}} = \frac{8}{10} = 0,8$$

Llavors, l’interval de confiança és:

$$IC = \left[ 67 \pm 1,812 \cdot 0,8 \right] = \left[ 67 \pm 1,4496 \right] \approx [65,5504; 68,4496]$$

Per tant, amb un 93 % de confiança, la mitjana de la població està entre 65,55 i 68,45 (arrodonint a dues decimals).

(b) Per determinar la mida mínima de la mostra necessària per estimar la mitjana de la població amb un error no superior a 2 i un nivell de confiança del 99 %, utilitzem la fórmula:

$$n \geq \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$

on $E = 2$ és l’error màxim admissible, $\sigma = 8$, i $z_{\alpha/2}$ és el valor crític per a un nivell de confiança del 99 %. Com que $\alpha = 0,01$, tenim $\alpha/2 = 0,005$, i el valor crític és $z_{\alpha/2} \approx 2,576$.

Substituint els valors:

$$n \geq \left( \frac{2,576 \cdot 8}{2} \right)^2 = \left( \frac{20,608}{2} \right)^2 = 10,304^2 \approx 106,172416$$

Com que la mida de la mostra ha de ser un nombre enter, prenem el valor immediatament superior:

$$n \geq 107$$

Per tant, es necessiten com a mínim 107 dades per estimar la mitjana de la població amb un error no superior a $2$ i un nivell de confiança del 99 %.