Dinàmica d’un Sistema amb Politja i Pla Inclinat amb Fregament

En la situació de la figura, en què la politja té una massa de $4,5$ kg i un diàmetre de $49$ cm, les masses dels cossos són $m_1 = 20 \, \text{kg}$ i $m_2 = 16 \, \text{kg}$, l’angle $\alpha$ del pla inclinat és de $45$° i el coeficient de fregament dinàmic del pla inclinat és $0,11$. Determineu l’acceleració angular de la politja, l’acceleració tangencial del sistema i les tensions en la corda.

Primer hem de determinar el sentit del moviment. Si comparem $p_{1x}$ amb $p_2$:

$$p_{1x} = m_1 \cdot g \cdot \sin \alpha = 20 \cdot 9,8 \cdot \sin 45^\circ = 138,59 \, \text{N}$$

$$p_2 = m_2 \cdot g = 16 \cdot 9,8 = 156,80 \, \text{N}$$

Com que $p_2 > p_{1x}$, el sentit del moviment és el que s’indica a la figura.

Dibuixem un esquema amb les forces que hi actuen i apliquem les equacions de la dinàmica de translació a les masses i de rotació a la politja, fent les mateixes consideracions que en exemples anteriors. Les forces que afavoreixen el moviment són positives, i les que hi van en contra, negatives; adoptem el mateix criteri per a les acceleracions i els moments. També substituïm la condició de lliscament a la politja, $a = R \cdot \alpha$, i el seu moment d’inèrcia, considerant que és un disc, $I = \frac{1}{2} M R^2$.

$m_1 \sum F_{\text{ext}1} = m_1 \vec{a} \rightarrow T_1 + p_{1x} + F_f = m_1 \vec{a} \rightarrow T_1 – p_{1x} – F_f = m_1 a$

$m_2 \sum F_{\text{ext}2} = m_2 \vec{a} \rightarrow \vec{p}_2 + T_2 = m_2 \vec{a} \rightarrow p_2 – T_2 = m_2 a$

$\sum M_{\text{ext}} = I \vec{\alpha} \rightarrow M_2 + M_1 = I \vec{\alpha} \rightarrow R T_2 – R T_1 = I \alpha \rightarrow T_2 – T_1 = \frac{I}{R} \alpha$

$$\begin{cases}
T_1 – p_{1x} – F_f = m_1 a \\
p_2 – T_2 = m_2 a \\
T_2 – T_1 = \frac{1}{2} M a
\end{cases}
\implies p_2 – p_{1x} – F_f = m_1 a + m_2 a + \frac{1}{2} M a$$

$$m_2 g – m_1 g \sin \alpha – \mu m_1 g \cos \alpha = m_1 a + m_2 a + \frac{1}{2} M a$$

$$a = \frac{m_2 g – m_1 g \sin \alpha – \mu m_1 g \cos \alpha}{m_1 + m_2 + \frac{1}{2} M} \implies$$

$$a = \frac{2 \cdot (16 – 20 \cdot \sin 45^\circ – 0,11 \cdot 20 \cdot \cos 45^\circ) \cdot 9,8}{2 \cdot 16 + 2 \cdot 20 + 4,5} = 0,08 \, \text{m/s}^2$$

Ara calculem $\alpha$, $T_1$ i $T_2$:

$$\alpha = \frac{a}{R} = \frac{0,08}{\frac{0,49}{2}} = 0,32 \, \text{rad/s}^2$$

$$T_1 – p_{1x} – F_f = m_1 a \rightarrow T_1 = m_1 a + m_1 g \sin \alpha + \mu m_1 g \cos \alpha \rightarrow$$

$$T_1 = 20 \cdot (0,08 + 9,8 \cdot \sin 45^\circ + 0,11 \cdot 9,8 \cdot \cos 45^\circ) = 155,44 \, \text{N}$$

$$p_2 – T_2 = m_2 a \rightarrow T_2 = p_2 – m_2 a = m_2 g – m_2 a = 16 \cdot (9,8 – 0,08) = 155,52 \, \text{N}$$