Estimació del valor esperat d’una variable aleatòria normal

Una variable física $X$ (amb les unitats corresponents) és aleatòria i se sap que segueix una distribució normal amb desviació típica σ\sigma coneguda. Per estimar el valor esperat de $X$, amb un nivell de confiança del $95\%$, s’ha pres una mostra aleatòria simple (m.a.s.) de mida $n = 9$, i s’ha obtingut l’interval de confiança següent: $[118{,}25,\ 123{,}55]$

(a) Calculeu la mitjana aritmètica dels valors observats de la variable.

L’interval està centrat a la mitjana mostral $$\bar{x} = \frac{118{,}25 + 123{,}55}{2} = 120{,}9$$

(b) Calculeu la variància poblacional de la variable $X$.

Sabem que el nivell de confiança és del $95\%$, per tant: $$1 – \alpha = 0{,}95 \Rightarrow \Phi(z_{\alpha/2}) = 0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2} = 1{,}96$$

La forma general de l’interval és: $$\left[ \bar{x} – z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] = [118{,}25,\ 123{,}55]$$

El radi de l’interval és: $$\frac{123{,}55 – 118{,}25}{2} = 2{,}65$$

Aleshores: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{9}} = 2{,}65 \Rightarrow 1{,}96 \cdot \frac{\sigma}{3} = 2{,}65 \Rightarrow \sigma = 4{,}056122 \Rightarrow \sigma^2 = 16{,}45213$$

(c) Si es vol augmentar el nivell de confiança al $97\%$, calculeu el nou interval de confiança.

Ara: $$1 – \alpha = 0{,}97 \Rightarrow \Phi(z_{\alpha/2}) = 0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2} = 2{,}17$$

L’interval es calcula com: $$\left[ \bar{x} – z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] = \left[ 120{,}9 \pm 2{,}17 \cdot \frac{4{,}056122}{3} \right] = [117{,}9661,\ 123{,}8339]$$

(d) Es vol reduir la longitud de l’interval de confiança del $97\%$ a la meitat de la longitud de l’interval inicial. Determineu quina hauria de ser la nova mida de la mostra.

Condició: mantenim el mateix σ\sigma i augmentem nn per reduir la longitud.

Radi inicial (amb 95%): $$r_1 = 2{,}65 \Rightarrow \text{Nou radi desitjat } = \frac{2{,}65}{2} = 1{,}325$$

Radi del nou interval (97%): $$2{,}17 \cdot \frac{4{,}056122}{\sqrt{n}} = 1{,}325 \Rightarrow \sqrt{n} = \frac{2{,}17 \cdot 4{,}056122}{1{,}325} \Rightarrow n \approx 44{,}13$$

Per tant, la nova mida de la mostra hauria de ser aproximadament: $$\boxed{n = 44}$$