La velocitat dels muons

Al laboratori, els muons \(\mu^-\) de baixa velocitat tenen una vida mitjana de \(\tau = 2,197 \times 10^{-6} \, \text{s}\). Els raigs còsmics creen a l’atmosfera muons \(\mu^-\), que són detectats a la superfície de la Terra. Calculeu la velocitat (constant) amb què arriben a la Terra els muons:a) sense tenir en compte la mecànica relativista, b) utilitzant la mecànica relativista.

a) El temps és igual per a tots els observadors. El \(\mu^-\) “viu viu”, com a molt, \(\tau = 2,197 \times 10^{-6} \, \text{s}\). Segons el sistema de referència \(S’\), en repòs a la Terra, el \(\mu^-\) hauria d’anar a una velocitat mínima \(v = \frac{h}{\tau} = \frac{2,5 \times 10^6}{2,197 \times 10^{-6}} = 1,138 \times 10^{12} \, \text{m/s}\), que supera la màxima velocitat possible!

b) Donem l’explicació relativista. El temps depèn de l’observador. El temps que cal tenir en compte per al muon \(\mu^-\) és el “seu” temps propi, en aquest cas, el temps del sistema de referència \(S’\), que viatja amb el muon. Aquest temps, “ell”, pot “viure” com a molt, \(\Delta t’ = \tau = 2,197 \times 10^{-6} \, \text{s}\), que és un temps mesurat segons un rellotge en repòs respecte de \(S’\). En canvi, en mesurament de la velocitat del muon, l’observador \(S\) fa servir el seu temps \(\Delta t\), \(v = \frac{h}{\Delta t}\).Si prenem increments a la transformació relativista de Lorentz-Poincaré del temps, amb \(\vec{V} = v, \vec{v}, \vec{r} = vz, \Delta z = h\) i \(\Delta t = v\), tenim:\[\Delta t’ = \frac{1 – \frac{v^2}{c^2} \Delta t – \frac{1}{c^2} v h}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}\]Dividint tot per \(h\) i simplificant:\[\frac{\Delta t’}{h} = \frac{1 – \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}{v}\]És a dir, \(v < c\), que és coherent amb el fet que \(c\) sigui la velocitat màxima possible. Per tant, amb la relativitat:\[\left( \frac{v}{c} \right)^2 = \frac{1}{1 + \left( \frac{c \Delta t’}{h} \right)^2} = 0,9999\]