Angle de Despreniment d’una Boleta en una Esfera

Una boleta, inicialment en repòs en el punt més alt d’una gran esfera fixa, comença a rodar sense lliscament per la superfície de l’esfera. Cal determinar l’angle des del pol de l’esfera fins al punt on la boleta perd el contacte amb aquesta.

Primerament, apliquem el principi de conservació de l’energia per calcular la velocitat de la boleta en funció de l’angle i del radi on es desplaça sobre l’esfera. Anomenem \(R\) el radi de la boleta i \(r\) el radi de l’esfera, i considerem que la boleta roda amb la velocitat de translació del seu centre de massa (\(v_{C.M.}\)) i la velocitat de rotació (\(\omega\)) relacionades per la condició de rodadura: \(v_{C.M.} = \omega r\).Si prenem com a origen de l’energia potencial gravitatòria l’altura que apareix en l’expressió de l’energia potencial gravitatòria de l’esfera (és a dir, l’altura del centre de massa de la boleta):\[E_{\text{arriba}} = mg(R + r)\]\[E_{\text{abaixo}} = E_{\text{arriba}} \quad \Rightarrow \quad \cdots\]\[E_{\text{abaixo}} = mg(R + r)\cos\theta + \frac{1}{2}mv_{C.M.}^2 + \frac{1}{2}I_{C.M.}\omega^2 \quad \Rightarrow \quad v_{C.M.}^2 = \frac{10}{7}g(R + r)(1 – \cos\theta)\]\[I_{C.M.} = \frac{2}{5}mr^2\]Aplicant la segona llei de Newton i tenint en compte que el centre de massa de la boleta realitza un moviment circular de radi \(R + r\), podem calcular la força normal que apareix en el contacte entre els dos cossos:\[mg + \vec{N} + \vec{F}_{\text{roz.}} = m\vec{a}_{C.M.} \quad \Rightarrow \quad mg\cos\theta – N = m a_{C.M.} = m \frac{v_{C.M.}^2}{(R + r)} = \frac{10}{7}mg(1 – \cos\theta)\]La boleta es desenganxa de la superfície quan \(N = 0\). Si anomenem \(\theta_{\text{crític}}\) l’angle en aquest moment:\[mg\cos\theta_{\text{crític}} = \frac{10}{7}mg(1 – \cos\theta_{\text{crític}}) \quad \Rightarrow \quad \cos\theta_{\text{crític}} = \frac{10}{17} \quad \Rightarrow \quad \theta_{\text{crític}} = 54^\circ\]