Determinació del Moment d’Inèrcia d’una Politja amb Blocs Accelerats

Amb l’objectiu de determinar el moment d’inèrcia d’una politja de 600 mm de radi, es penja un bloc de 12 kg de massa per mitjà d’una corda inextensible i sense massa. S’observa que el bloc descendeix 3 m en 4,6 s quan parteix del repòs. Per eliminar els càlculs de fregaments de la politja, s’utilitza un altre bloc de 24 kg de massa, que descendeix els 3 m en 3,1 s. Suposant que el moment de fregament no varia, es calcula el moment d’inèrcia de la politja.

Dibuixem el diagrama de forces per a la politja i el bloc i plantegem la segona llei de Newton en els dos casos:

\[m_2 g – T_i = m_2 a_i \quad \Rightarrow \quad T_i = m_2 (g – a_i) \quad \Rightarrow \quad T_2 – T_i = m_2 (g – a_2) – m_1 (g – a_1)\]\[T R – \tau_{\text{roz}} = I \alpha_i = I \left( \frac{a_i}{R} \right) \quad \Rightarrow \quad T_2 – T_1 = I \left( \frac{a_2 – a_1}{R^2} \right)\]\[\Rightarrow \quad I \left( \frac{a_2 – a_1}{R^2} \right) = m_2 (g – a_2) – m_1 (g – a_1) \quad \Rightarrow \quad I = \frac{[m_2 (g – a_2) – m_1 (g – a_1)] R^2}{a_2 – a_1}\]

Tenint en compte que, segons els intervals de temps que se’ns donen i que el moviment dels blocs és uniformement accelerat:\[s = \frac{1}{2} a_i t_i^2 \quad \Rightarrow \quad a_i = \frac{2s}{t_i^2}\]\[\Rightarrow \quad I = \frac{\left[ m_2 \left( g – \frac{2s}{t_2^2} \right) – \left( g – \frac{2s}{t_1^2} \right) \right] t_1^2 t_2^2}{[m_2 (2s)] \left( \frac{t_1^2 – t_2^2}{t_1^2 t_2^2} \right) m_1 R^2} = \mathbf{112,0 \, \text{kg·m}^2}\]