Projecció ortogonal de la recta sobre el pla

Trobar la projecció ortogonal de la recta de l’equació: $$r: \frac{x + 2}{3} = \frac{y – 1}{2} = \frac{z + 1}{-2} \quad \text{sobre el pla} \quad \pi: 2x + y – 3z + 1 = 0$$

$$r: \begin{cases} A(-2, 1, -1) \\ \vec{u} = (3, 2, -2) \end{cases} \quad \pi: \begin{cases} \vec{n} = (2, 1, -3) \end{cases}$$

Llavors, l’equació del pla $\pi$ és: \[\pi: \begin{vmatrix}x + 2 & 3 & 2 \\ y – 1 & 2 & 1 \\ z + 1 & -2 & -3\end{vmatrix} = 0 \implies \pi: -4x + 5y – z – 14 = 0\]

La recta possible és $\pi \cap \pi’$, és a dir, trobem el tall dels plans perquè la recta $r$ i el pla $\pi’$ no són paral·lels, projecció ortogonal de $r$ sobre $\pi$:
$$r’: \begin{cases} x + y – 3z – 1 = 0 \\ 4x + 5y – z – 14 = 0 \end{cases}$$