La mescla, tèrmica, perfecta

Tenim una ampolla de gasosa d’1 L a temperatura ambient de 20 °C i un pot de 33 cL al frigorífic a 5 °C.

a) Volem servir una gerra de mig litre a una temperatura de 15 °C. Indica raonadament quines proporcions de cada recipient empraries per obtenir la mescla desitjada.

b) Quina és la temperatura més baixa a la qual podríem servir la gerra de mig litre?

Es tracta d’un problema d’intercanvi de calor i conservació de l’energia. El calor cedit pel líquid més calent (el que està a 20 °C) ha de ser igual al calor guanyat pel líquid més fred (el que està al frigorífic):

$$Q_{\text{cedit}} = Q_{\text{guanyat}}$$

a) El calor és $Q = m \cdot c_e \cdot \Delta T$, on $m$ és la massa de la substància, $c_e$ el seu calor específic i $\Delta T$ l’increment de temperatura. De manera que, anomenant $m_1$ a la massa del líquid a temperatura ambient i $m_2$ a la massa del líquid refrigerat, es compleix que

$$m_1 \cdot c_e \cdot (20 – 15) = m_2 \cdot c_e \cdot (15 – 5).$$

No cal conèixer el calor específic perquè la mescla és de la mateixa substància. La relació entre les masses de cada líquid és

$$5 m_1 = 10 m_2 \quad \Rightarrow \quad m_1 = 2 m_2.$$

Aquesta relació ens dóna la proporció entre els dos volums mesclats, ja que la densitat és $\rho = m / V$. Per tant, com segueix el principi que la suma dels volums mesclats ha de ser mig litre, $V = 0,5 \, \text{L} = V_1 + V_2$, queda

$$V_1 = \frac{m_1}{\rho} = 2 \frac{m_2}{\rho} = 2 V_2 \quad \Rightarrow \quad 0,5 = V_1 + V_2 = 2 V_2 + V_2 = 3 V_2.$$

És a dir, haurem de mesclar $1/6$ L del líquid del pot refrigerat (la meitat del pot perquè era de 33 cL) amb $1/3$ L de la botella a temperatura ambient.

b) En aquest cas, l’equilibri energètic és

$$m_1 \cdot c_e \cdot (20 – T) = m_2 \cdot c_e \cdot (T – 5) \quad \Rightarrow \quad V_1 \cdot (20 – T) = V_2 \cdot (T – 5),$$

on $T$ és la temperatura que busquem (la més baixa que podem aconseguir). Lògicament, hem de prendre el pot refrigerat sencer, perquè així aconseguim una mescla el més freda possible; és a dir,

$$V_2 = \frac{1}{3} \, \text{cL},$$

$$V_1 = 0,5 – V_2 = \frac{1}{6} \, \text{cL}.$$

Per tant, la temperatura demanada és

$$\frac{1}{6} \cdot (20 – T) = \frac{1}{3} \cdot (T – 5) \quad \Rightarrow \quad T = 10 \, \text{°C}.$$