Física del Solenoide i Moviment de Càrregues en Camps Electromagnètics

a) De què depèn el camp magnètic de l’interior d’un solenoide?

b) Siguin dues plaques separades una distància $d$ sotmeses a una diferència de potencial $\Delta V$. Suposem que des d’una de les plaques una partícula de massa $m$ i càrrega $q$, partint del repòs, obté la velocitat de la partícula quan arriba a l’altra placa.

c) Explica en què consisteix la força de Lorentz quan es produeix un moviment circular.

a) Depenent de la intensitat de corrent $I$ que circula pel cable, de la seva longitud $L$, i del nombre $N$ d’espires:
$$B = \mu \frac{N}{L} I.$$
$N/L$ és el nombre d’espires per unitat de longitud. A major densitat d’espires i major corrent elèctrica, major és el camp magnètic. També depèn de la permeabilitat magnètica $\mu$ del medi en què es troba l’interior del solenoide.

Una aproximació real a un solenoide és una bobina. En el seu interior es genera un camp magnètic casi uniforme, tant més quan més llarga és la bobina. L’expressió anterior és vàlida en el centre, però falla cada cop més a mesura que ens apropem als extrems.

Si la bobina es tanca formant una circumferència de radi $R$, parlem d’un toroide. En aquest cas l’expressió del camp és $B = \mu N I / 2 \pi R$.

b) El camp elèctric en l’interior de les plaques és $E = \Delta V / d$, i la força elèctrica que actua sobre una càrrega és $F = q E = q \Delta V / d$, de manera que el treball elèctric realitzat per aquesta força és $W = F d = q \Delta V$. Aquest treball es converteix en energia cinètica de la partícula, per tant:
$$q \Delta V = \frac{1}{2} m v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2 q \Delta V}{m}},$$
que no depèn de la separació de les plaques.

c) La força de Lorentz és $\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}$. Perquè existeixi una força no nul·la, la càrrega ha d’estar en moviment i moure’s en el si d’un camp magnètic que no sigui paral·lel a la direcció de la velocitat. Perquè la càrrega descrigui una circumferència, el camp magnètic ha de ser uniforme i perpendicular a la velocitat de la càrrega. Així, la força produeix una acceleració normal a la trajectòria que té un radi:
$$q v B = m \frac{v^2}{R} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{m v}{q B}.$$
Si la càrrega, la velocitat inicial i el camp no són perpendiculars al moviment perpendicular, la velocitat de la càrrega pot descompondre’s en components perpendicular i paral·lela al camp. En la direcció del camp no actua cap força i el moviment serà rectilini uniforme. Mentrestant, en el pla perpendicular als dos moviments es produeix una trajectòria helicoïdal. La composició dels dos moviments és una trajectòria helicoïdal.