Boia oscil·ladora

Una boia cilíndrica d’altura $l$, radi $r$ i densitat $\rho$ està flotant a la superfície de l’aigua.

a) Obtén l’altura $h$ de la part submergida.

b) Un nen enfonsa una mica la boia i la deixa anar, i llavors la boia comença a oscil·lar verticalment. Proposa una expressió per al període d’oscil·lació de la boia.

c) Si la boia flota, en lloc de en posició vertical, acoblada al llarg de l’eix del cilindre, podries obtenir el període d’oscil·lació de la mateixa manera?

a) En l’equilibri, el pes es compensa amb l’empenta que exerceix l’aigua sobre la boia:
$$P = E \quad \Rightarrow \quad mg = m_a g,$$
on $m$ és la massa total de la boia i $m_a$ és la massa de l’aigua desallotjada per la part submergida de la boia. Com que és cilíndrica, el seu volum és $\pi R^2 L$ i el volum submergit és $\pi R^2 h$. Tenint en compte que la densitat és la massa entre el volum, podem reescriure el balanç de forces i obtenir $h$ en la situació d’equilibri:
$$\rho \pi R^2 L = \rho_a \pi R^2 h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{\rho}{\rho_a} L,$$
on $\rho_a$ és la densitat de l’aigua.

b) Suposem que enfonsem la boia una profunditat addicional $y$. Llavors hi ha una força neta vertical donada per:
$$F = P – E = \rho \pi R^2 L g – \rho_a \pi R^2 (h + y) g \quad \Rightarrow \quad F(y) = -\pi R^2 \rho_a g y.$$
Per la 2a llei de Newton:

$$F(y) = -\pi R^2 \rho_a g y = m \frac{d^2 y}{dt^2} = \pi R^2 L \rho \frac{d^2 y}{dt^2}.$$

Queda una equació diferencial similar a la d’un oscil·lador de molla o d’un pèndol de freqüència angular $\omega$:

$$\frac{d^2 y}{dt^2} = -\omega^2 y = -\frac{\rho_a g}{\rho L} y.$$

Identificant la freqüència i els paràmetres del problema, obtenim:

$$\omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{\rho_a g}{\rho L}} \quad \Rightarrow \quad T = 2\pi \sqrt{\frac{\rho L}{\rho_a g}}.$$

Quan menys densa i més llarga sigui la boia, més ràpid oscil·larà.

La secció de la boia no influeix en el seu període d’oscil·lació. Per tant, la boia podria ser, per exemple, con forma de paral·lelepípede i el resultat seria el mateix.

c) Si la boia està acoblada tenint un cilindre horitzontal: En aquest cas, la secció submergida és un segment circular cuya àrea no depèn linealment de la profunditat submergida. Es pot demostrar que aquesta àrea és:

$$A = R^2 \arccos\left(\frac{R – h}{R}\right) \sqrt{(R – h)^2} R – (R – h)^2.$$

L’equació que governa el moviment ja no és la del moviment armònic simple i no podem obtenir el període d’oscil·lació con el procediment anterior.

El mateix ocorre si considerem las oscil·lacions de una esfera, per exemple las d’una pilota flotant en l’aigua: les seves oscil·lacions no són armòniques.