LEMNISCATA
Matemàtiques, física, química…
Inversa d’una matriu
Inversa d’una matriu
Inversa d’una matriu
Enunciat. Trobeu la inversa de la matriu \( A \) donada per
\[
A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ -2 & 4 & -2 \end{pmatrix}
\]
si existeix.
Mètode de Gauss-Jordan §1
Escriuim la matriu ampliada \( [A \mid I] \):
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
-2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
-2 & 4 & -2 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]
Pas 1
\( R_2 \leftarrow R_2 + R_1 \), \( R_3 \leftarrow R_3 – R_1 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
-2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 3 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & -2 & -1 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]
Pas 2
\( R_3 \leftarrow R_3 – \dfrac{2}{3} R_2 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
-2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 3 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -4 & -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{2}{3} & 1
\end{array}\right]
\]
Pas 3
\( R_3 \leftarrow \left(-\dfrac{1}{4}\right) R_3 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
-2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 3 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \dfrac{5}{12} & \dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
Pas 4
\( R_2 \leftarrow R_2 – 3 R_3 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
-2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{4} \\
0 & 0 & 1 & \dfrac{5}{12} & \dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
Pas 5
\( R_2 \leftarrow \dfrac{1}{3} R_2 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
-2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -\dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{4} \\
0 & 0 & 1 & \dfrac{5}{12} & \dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
Pas 6
\( R_1 \leftarrow R_1 – 2 R_2 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
-2 & 0 & 0 & \dfrac{7}{6} & -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{2} \\
0 & 1 & 0 & -\dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{4} \\
0 & 0 & 1 & \dfrac{5}{12} & \dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
Pas 7
\( R_1 \leftarrow \left(-\dfrac{1}{2}\right) R_1 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -\dfrac{7}{12} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{4} \\
0 & 1 & 0 & -\dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{4} \\
0 & 0 & 1 & \dfrac{5}{12} & \dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
Resultat final §2
Per tant, la matriu inversa és:
\[
A^{-1} = \begin{pmatrix}
-\dfrac{7}{12} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{4} \\
-\dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{4} \\
\dfrac{5}{12} & \dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{4}
\end{pmatrix}
\]
\( A^{-1} \) existeix i és la matriu anterior
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora
Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss www.campanadegauss.cat