Els vectors directors de les rectes són:

\[ \vec{v}_r = (2,-1,3), \qquad \vec{v}_s = (1,2,-1). \]

Paral·lelisme: dos vectors són proporcionals si existeix un escalar \( \lambda \) tal que \( \vec{v}_r = \lambda\vec{v}_s \). Comprovem:

\[ \frac{2}{1}=2, \quad \frac{-1}{2}=-\frac12, \quad \frac{3}{-1}=-3. \] Les raons no són iguals, per tant els vectors no són proporcionals. Les rectes \( r \) i \( s \) no són paral·leles.

Perpendicularitat: calculem el producte escalar:

\[ \vec{v}_r\cdot\vec{v}_s = 2\cdot1 + (-1)\cdot2 + 3\cdot(-1) = 2-2-3 = -3 \neq 0. \] Les rectes \( r \) i \( s \) no són perpendiculars.

El pla \( \pi \) ha de contenir el punt \( P_r=(1,-3,4) \) i els vectors directors \( \vec{v}_r=(2,-1,3) \) i \( \vec{v}_s=(1,2,-1) \).

L’equació del pla s’obté del determinant:

\[ \begin{vmatrix} x-1 & 2 & 1 \\ y+3 & -1 & 2 \\ z-4 & 3 & -1 \end{vmatrix}=0. \]

Desenvolupem el determinant (o equivalentment calculem el producte vectorial \( \vec{v}_r\times\vec{v}_s \)):

\[ \vec{v}_r\times\vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1-6) – \mathbf{j}(-2-3) + \mathbf{k}(4+1) = (-5,5,5). \] Prenem el vector normal \( \vec{n}=(-1,1,1) \). L’equació del pla és: \[ -1(x-1) + 1(y+3) + 1(z-4) = 0 \] \[ -x + 1 + y + 3 + z – 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad -x + y + z = 0. \] Multiplicant per \(-1\) obtenim la forma més còmoda: \(\pi:\ x – y – z = 0\)

Distància entre la recta \( s \) i el pla \( \pi \)

Com que el pla és paral·lel a \( s \), la distància és constant i coincideix amb la distància d’un punt qualsevol de \( s \) al pla. Prenem \( P_s=(-2,5,-1) \):

\[ d(s,\pi) = d(P_s,\pi) = \frac{|A(-2)+B(5)+C(-1)+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \] amb \( A=1 \), \( B=-1 \), \( C=-1 \), \( D=0 \): \[ d = \frac{|1\cdot(-2)+(-1)\cdot5+(-1)\cdot(-1)|}{\sqrt{1+1+1}} = \frac{|-2-5+1|}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}. \] Distància \( = 2\sqrt{3} \)