Interval de confiança per al temps d’estudi setmanal dels estudiants andalusos

El temps d’estudi setmanal dels estudiants andalusos, mesurat en hores, es distribueix segons una llei Normal amb mitjana desconeguda i desviació típica de 5 hores. A partir d’una mostra de $81$ estudiants s’ha obtingut que l’interval de confiança per a la mitjana poblacional és \( (10{,}794,\ 13{,}206) \), amb un nivell de confiança del $97\%$. a) Obtingueu el temps mitjà d’estudi de la mostra d’estudiants. b) Si s’amplia la mida de la mostra, raoneu si, mantenint el nivell de confiança, l’amplitud de l’interval de confiança augmenta o disminueix. c) Si es vol reduir l’amplitud de l’interval de confiança, raoneu si, mantenint la mida de la mostra, s’ha de reduir o augmentar el nivell de confiança. d) Si la mitjana de la població és de $10,2$ hores i es sap que la mitjana mostral és de $12$ hores, calculeu la mida màxima de la mostra perquè un interval de confiança del $97\%$ contingui la mitjana poblacional.

a) Temps mitjà d’estudi de la mostra

L’interval de confiança es construeix com:

\begin{equation}
I.C = \left( \bar{x} – E,\ \bar{x} + E \right)
\end{equation}

Donat l’interval \( (10{,}794,\ 13{,}206) \), la mitjana mostral és:

\begin{equation}
\bar{x} = \frac{10{,}794 + 13{,}206}{2} = \frac{24}{2} = 12
\end{equation}

$\textbf{Resposta:}$ El temps mitjà d’estudi de la mostra és \( \bar{x} = 12 \) hores.

b) Variació de l’amplitud en augmentar la mida de la mostra

L’error de l’interval de confiança es calcula amb:

\begin{equation}
E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\end{equation}

Si augmenta \( n \), disminueix \( \frac{1}{\sqrt{n}} \), per tant, \( E \) també disminueix.

Resposta: L’amplitud de l’interval $\textbf{disminueix}$ si augmenta la mida de la mostra.

c) Variació de l’amplitud en augmentar el nivell de confiança

Si es manté \( n \), una manera de reduir l’amplitud és fer que \( z_{\alpha/2} \) sigui menor. Però augmentar el nivell de confiança fa créixer \( z_{\alpha/2} \), i per tant també augmenta l’error \( E \).

$\textbf{Resposta:}$ Per reduir l’amplitud, cal $\textbf{disminuir el nivell de confiança}$ si es manté la mida de la mostra.

d) Mida màxima de la mostra perquè l’interval contingui la mitjana poblacional

Dades:

• \( \mu = 10{,}2 \)
• \( \bar{x} = 12 \)
• \( \sigma = 5 \)
• Nivell de confiança: $97\%$ \( \Rightarrow z_{\alpha/2} = 2{,}17 \)

Volem:

\begin{equation}
E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \geq |\bar{x} – \mu| = 1{,}8
\end{equation}

Aïllem \( n \):

\begin{equation}
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \geq \frac{1{,}8}{z_{\alpha/2}} \Rightarrow \sqrt{n} \leq \frac{\sigma \cdot z_{\alpha/2}}{1{,}8}
\end{equation}

\begin{equation}
\sqrt{n} \leq \frac{5 \cdot 2{,}17}{1{,}8} \approx 6{,}0278 \Rightarrow n \leq 36{,}33
\end{equation}

$\textbf{Resposta:}$ La mida màxima de la mostra ha de ser \( \boxed{36} \) estudiants.