Estimació de la mitjana i intervals de confiança en variables normals

El nombre de quilòmetres recorreguts en un dia determinat per un conductor d’una empresa de transports es pot aproximar per una variable aleatòria $X$ amb una distribució normal de mitjana $\mu$. a) S’ha obtingut una mostra aleatòria simple amb els següents resultats: $$40,\ 28,\ 41,\ 102,\ 95,\ 33,\ 108,\ 20,\ 64$$ Determina un interval de confiança al $95\%$ per a $\mu$ si la variable aleatòria $X$ té una desviació típica de $30$ km. b) Quin seria l’error d’estimació de $\mu$ usant un interval de confiança amb un nivell del $90\%$, construït a partir d’una mostra de mida $4$, si la desviació típica de la variable aleatòria $X$ fos de $50$ km?

Sigui $X$ la variable aleatòria (Km recorreguts): $X \sim N(\mu, 30)$

a) Càlcul de la mitjana mostral:

$$\bar{x} = \frac{40 + 28 + 41 + 102 + 95 + 33 + 108 + 20 + 64}{9} = \frac{531}{9} = 59$$

A un nivell de confiança del $95\%$ li correspon el valor crític $z_{\alpha/2} = 1{,}96$.

L’interval de confiança al $95\%$ per a la mitjana de la variable $X$, nombre de Km recorreguts pel conductor de l’empresa, serà:

$$I.C = \left( \bar{x} – z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)
= \left( 59 – 1{,}96 \cdot \frac{30}{\sqrt{9}},\ 59 + 1{,}96 \cdot \frac{30}{\sqrt{9}} \right)$$

$$I.C = (39{,}4,\ 78{,}6)$$

b) Càlcul de l’error d’estimació

• Mida de la mostra: $n = 4$
• Nivell de confiança: $90\%$
• Desviació típica de $X$: $\sigma = 50$

A un nivell de confiança del $90\%$ li correspon el valor crític $z_{\alpha/2} = 1{,}645$.

$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}645 \cdot \frac{50}{\sqrt{4}} = 41{,}125$$