Distribució normal. Contingut de quitrà en les cigarrets

El contingut en quitrà d’una determinada marca de cigarrets es pot aproximar per una variable aleatòria amb distribució normal de mitjana desconeguda i desviació típica de 4 mg. a) Es pren una mostra aleatòria de mida 20 i s’obté que la seva mitjana mostral és de 22 mg. Determina un interval de confiança al 90\% per al contingut mitjà de quitrà en un cigarret de la marca esmentada. b) Determina la mida mínima de la mostra perquè l’error màxim comès en l’estimació de la mitjana sigui menor de 0,5 mg, amb un nivell de confiança del $90\%$.

Es tracta d’una normal $N(\mu, 4)$.

a) Interval de confiança

• Mida de la mostra: $n = 20$
• Mitjana mostral: $\bar{x} = 22$
• Nivell de confiança: $1 – \alpha = 0{,}9$

A un nivell de confiança del 90\%, li correspon el valor crític $z_{\alpha/2} = 1{,}645$.

L’interval de confiança al $90\%$ per al contingut mitjà de quitrà és:

$$I.C = \left( \bar{x} – z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

$$I.C = \left( 22 – 1{,}645 \cdot \frac{4}{\sqrt{20}},\ 22 + 1{,}645 \cdot \frac{4}{\sqrt{20}} \right)$$

$$I.C = (20{,}528,\ 23{,}471)$$

b) Càlcul de la mida mínima de la mostra

L’error màxim admissible en l’estimació de la mitjana poblacional és:

$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 0{,}5$$

Desenvolupant la desigualtat:

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \frac{0{,}5}{z_{\alpha/2}} \Rightarrow n > \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{0{,}5} \right)^2$$

$$n > \left( \frac{1{,}645 \cdot 4}{0{,}5} \right)^2 = 173{,}1856$$

Perquè l’error màxim comès sigui menor que $0,5$ mg amb un nivell de confiança del $90\%$, la mida de la mostra ha de ser, com a mínim, de:

$$\boxed{174 \text{ cigarrets}}$$