Distribució normal. Pes de pots de conserva

El pes en grams d’un determinat tipus de pots de conserva segueix una distribució normal amb: Mitjana: $\mu = 1,2 \, \text{kg} = 1200 \, \text{grams}$ i Desviació típica: $\sigma = 750 \, \text{grams}$. S’han de calcular les següents probabilitats: a) La probabilitat que un pot pres a l’atzar pesi més de $1$ kg. b) Si un venedor compra $500$ pots, quants es poden esperar que pesin entre $850$ i $950$ grams?

El pes $X$ segueix una distribució normal $X \sim N(1200, 750)$. Utilitzem la transformació a la distribució normal estàndard amb la fórmula:

$$z = \frac{x – \mu}{\sigma}$$

Les probabilitats es troben consultant la taula de la distribució normal estàndard $\Phi(z)$, que proporciona $P(Z < z)$.

Apartat a) Probabilitat que un pot pesi més de 1 kg
Convertim $1$ kg a grams: $1 \, \text{kg} = 1000 \, \text{grams}$. Calculem el valor $z$:

$$z = \frac{1000 – 1200}{750} = \frac{-200}{750} \approx -0.2667$$

Aproximem $z \approx -0.27$ per consultar la taula. La probabilitat és:

$$P(X > 1000) = P(Z > -0.27) = 1 – P(Z < -0.27)$$

Sabem que $P(Z < -0.27) \approx 0.3936$, així:

$$P(Z > -0.27) = 1 – 0.3936 = 0.6064$$

$\textbf{Resposta:}$ La probabilitat que un pot pesi més de $1$ kg és aproximadament $0.6064$ (o $60.64\%$).

Apartat b) Nombre esperat de pots entre $850$ i $950$ grams
Calculem la probabilitat que un pot pesi entre $850$ i $950$ grams:

• Per $x = 850$:
  $$z = \frac{850 – 1200}{750} = \frac{-350}{750} \approx -0.4667 \approx -0.47$$
• Per $x = 950$:
  $$z = \frac{950 – 1200}{750} = \frac{-250}{750} \approx -0.3333 \approx -0.33$$

La probabilitat és:

$$P(850 < X < 950) = P(-0.47 < Z < -0.33) = P(Z < -0.33) – P(Z < -0.47)$$

• $P(Z < -0.33) \approx 0.3707$
• $P(Z < -0.47) \approx 0.3192$

$$P(-0.47 < Z < -0.33) = 0.3707 – 0.3192 = 0.0515$$

Per a $500$ pots, el nombre esperat és:

$$500 \times 0.0515 \approx 25.75$$

Arrodonint a un nombre enter:

$$25.75 \approx 26$$

$\textbf{Resposta:}$ Es poden esperar aproximadament $26$ pots que pesin entre $850$ i $950$ grams.