Inferència estadística. Puntuacions d’un test

Se sap que les puntuacions d’un test segueixen una distribució Normal amb mitjana 36 i desviació típica 4,8. a) Si es pren una mostra aleatòria de 16 individus, quina és la probabilitat que la mitjana d’aquesta mostra sigui superior a 35 punts? b) Quin percentatge de mostres de mida 25 té una mitjana compresa entre 34 i 36?

a) Sigui $X$ la variable aleatòria que mesura la puntuació obtinguda en el test per una persona escollida a l’atzar. Sabem que

$$X \sim N(\mu = 36, \sigma = 4.8)$$

Anomenem $\overline{X}_{16}$ la variable aleatòria que mesura la mitjana obtinguda en prendre mostres independents de mida 16. Llavors sabem que:

$$\overline{X}_{16} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(36, \frac{4.8}{\sqrt{16}}\right) = N(36, 1.2)$$

Després de tipificar la variable aleatòria,

$$Z = \frac{\overline{X}_{16} – 36}{1.2} \sim N(0,1)$$

Aleshores, la probabilitat que la mitjana d’una mostra de mida 16 sigui superior a 35 punts és:

$$P\left(\overline{X}{16} > 35\right) = P\left(\frac{\overline{X}{16} – 36}{1.2} > \frac{35 – 36}{1.2} \right)$$

$$= P(Z > -0.83) = P(Z \leq 0.83)$$

Consultant la taula de la distribució normal $N(0,1)$,

$$P(Z \leq 0.83) = 0.7967$$

b) Anomenem ara $\overline{X}_{25}$ la variable aleatòria que mesura la mitjana obtinguda en prendre mostres independents de mida $25$. Raonant com abans, sabem que:

$$\overline{X}_{25} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(36, \frac{4.8}{\sqrt{25}}\right) = N(36, 0.96)$$

Aleshores, tipificant la variable aleatòria,

$$Z = \frac{\overline{X}_{25} – 36}{0.96} \sim N(0,1)$$

Per tant, el percentatge de mostres de mida $25$ que tenen una mitjana mostral compresa entre $34$ i $36$ és:

$$P\left(34 < \overline{X}{25} < 36\right) = P\left(\frac{34 – 36}{0.96} < \frac{\overline{X}{25} – 36}{0.96} < \frac{36 – 36}{0.96} \right)$$

$$= P(-2.08 < Z < 0)$$

Com que la distribució és simètrica,

$$P(-2.08 < Z < 0) = P(0 < Z < 2.08)$$

Utilitzant la taula de la distribució normal $N(0,1)$,

$$P(Z \leq 2.08) – P(Z \leq 0) = 0.9812 – 0.5 = 0.4812$$

Així, el percentatge és:

$$\boxed{48.12\%}$$