Inferència estadística. Càlcul error i mida mostral mínima

Se sap que $(45013, 51003)$ és un interval de confiança al $95\%$ per a la mitjana d’una variable aleatòria que segueix una distribució Normal amb desviació típica $\sigma = 15$. a Quin és l’error comès? b) Calcula, amb el mateix nivell de confiança, la mida mostral mínima necessària perquè l’error comès no sigui superior a $108$.

a) Com que l’interval de confiança per a la mitjana és $(45013, 51003)$, la mitjana mostral obtinguda és el punt mig entre els seus extrems:

$$\overline{x} = \frac{45013 + 51003}{2} = 48008$$

L’error màxim comès en calcular l’interval és la distància entre la mitjana i qualsevol dels extrems de l’interval de confiança, és a dir:

$$E = 48008 – 45013 = 2095$$

b) Suposem ara que volem cometre un error màxim $E \leq E_0 = 108$ amb un nivell de confiança $p = 1 – \alpha = 95\%$. Aleshores, la mida mostral mínima $n$ que s’ha de prendre ha de complir:

$$n \geq \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E_0} \right)^2,$$

on $\sigma = 15$ és la desviació típica, $E_0 = 108$ és l’error màxim admissible i $z_{\alpha/2}$ és l’únic nombre real que compleix la condició:

$$P(Z > z_{\alpha/2}) = \frac{\alpha}{2} = 0.025,$$

sent $Z$ una variable amb distribució Normal estàndard. Com que disposem d’una taula de probabilitats per a la cua esquerra, traduïm aquesta condició al succés complementari:

$$P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 – 0.025 = 0.975$$

Busquem aquest valor en la taula de la distribució Normal estàndard i trobem el valor crític: $z_{\alpha/2}) = 1.96$

Així, la mida mínima de la mostra ha de complir:

$$n \geq \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E_0} \right)^2$$

Substituint els valors donats:

$$n \geq \left( \frac{1.96 \times 15}{108} \right)^2 = \left( \frac{49}{3} \right)^2$$

$$n \geq \frac{2401}{9} \approx 266.078$$

Atès que la mida mostral ha de ser un nombre enter, arrodonim al següent nombre sencer més gran:

$$n \geq 267$$

Per tant, cal prendre una mostra d’almenys $267$ individus per garantir un error màxim de $108$ amb un nivell de confiança del $95\%$.