Inferència estadística. Alumnes universitat

En una universitat es pren, a l’atzar, una mostra de $400$ alumnes i s’observa que $160$ d’ells han aprovat totes les assignatures. a) Calcula un interval de confiança al $97\%$ per estimar el percentatge d’alumnes d’aquesta universitat que aproven totes les assignatures. b) A la vista del resultat anterior, es pretén repetir l’experiència per aconseguir que l’error no sigui superior a $0.04$, amb el mateix nivell de confiança. Quants alumnes, com a mínim, ha de tenir la mostra?

a) La proporció mostral d’alumnes que han aprovat totes les assignatures, en una mostra de mida $n = 400$, és:

$$\hat{p} = \frac{160}{400} = 0.4$$

Amb un nivell de confiança del $97\%$, el valor crític associat és $z_{\alpha/2} = 2.017$.

Com que $n \geq 30$, $n \hat{p} = 160 \geq 5$ i $n(1 – \hat{p}) = 240 \geq 5$, es compleixen les condicions per utilitzar la fórmula de l’interval de confiança per a la proporció.

L’interval de confiança per a la proporció de alumnes que han aprovat totes les assignatures a la universitat és:

$$IC = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}}$$

Substituint els valors coneguts:

$$IC = 0.4 \pm 2.017 \times \sqrt{\frac{0.4 \times 0.6}{400}}$$

$$IC = 0.4 \pm 2.017 \times \sqrt{\frac{0.24}{400}}$$

$$IC = 0.4 \pm 2.017 \times \sqrt{0.0006}$$

$$IC = 0.4 \pm 2.017 \times 0.02449$$

$$IC = 0.4 \pm 0.04944$$

Finalment, l’interval de confiança és:

$$IC = [0.35056, 0.44944]$$

Així, amb un nivell de confiança del $97\%$, podem afirmar que la proporció d’alumnes que han aprovat totes les assignatures es troba entre $0.35056$ i $0.44944$.

Això vol dir que, amb un nivell de confiança del $97\%$, el percentatge d’alumnes d’aquesta universitat que han aprovat totes les assignatures es troba entre el $23,2\%$ i el $56,8\%$.

b) Si l’error màxim admissible es fixa en $E_0 = 0.004$, aleshores la mida mostral ha de complir la següent fórmula:

$$n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p} (1 – \hat{p})}{E_0^2}$$

Substituïm els valors coneguts:

$$n \geq \frac{(2.017)^2 \times 0.4 \times 0.6}{(0.04)^2}\approx704.34$$

Això vol dir que per aconseguir que l’error sigui inferior a $0.04$, amb un nivell de confiança del $97\%$, cal prendre una mostra aleatòria de, almenys, $707$ alumnes.