Inferència estadística. Enquesta en un institut

Per realitzar una enquesta en un institut es selecciona, aleatòriament, una mostra de $50$ alumnes i se’ls pregunta si tenen reproductors de mp3, responent afirmativament $20$ d’ells. Calculem un interval de confiança, al $96\%$, per a la proporció d’alumnes que posseeixen reproductors de mp3 en la població total d’alumnes de l’institut.

La proporció mostral d’alumnes que posseeixen un reproductor de MP3, en una mostra de mida $n = 50$, és:

$$\hat{p} = \frac{20}{50} = 0.4$$

Amb un nivell de confiança del $96\%$, el valor crític associat és $z_{\alpha/2} = 2.055$.

Com que $n \geq 30$, $n \hat{p} = 20 \geq 5$ i $n(1 – \hat{p}) = 30 \geq 5$, es compleixen les condicions per utilitzar la fórmula de l’interval de confiança per a la proporció.

L’interval de confiança per a la proporció d’alumnes que posseeixen un reproductor de MP3 és:

$$IC = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}} = 0.4 \pm 2.055\times \sqrt{\frac{0.4 \times 0.6}{50}}\approx0.4\pm0.15=(0.25,0.55)$$

Així, amb un nivell de confiança del $96\%$, podem afirmar que el percentatge d’alumnes que posseeixen un reproductor de MP3 es troba entre el $25\%$ i el $55\%$.