Inferència estadística. Llançament de moneda

S’ha llençat una moneda a l’aire $200$ vegades i s’ha obtingut cara en $120$ ocasions. a) Estimeu, mitjançant un interval de confiança, al $90\%$, la probabilitat de obtenir cara. b) Es pretén repetir l’experiència per aconseguir que l’error comès sigui inferior a 0.03, amb un nivell de confiança del $97\%$. Quin ha de ser la mida mínima de la mostra?

(a) Estimeu, mitjançant un interval de confiança, al $90\%$, la probabilitat de obtenir cara.

La proporció mostral de vegades que s’ha obtingut cara en una mostra de mida $n = 200$ és:

$$\hat{p} = \frac{120}{200} = 0.6$$

Amb un nivell de confiança del $90\%$, el valor crític associat és $z_{\alpha/2} = 1.645$.

Com que $n \geq 30$, $n \hat{p} = 120 \geq 5$ i $n (1 – \hat{p}) = 80 \geq 5$, es compleixen les condicions per utilitzar la fórmula de l’interval de confiança per a la proporció.

L’interval de confiança per a la proporció d’ocasions en què s’obté cara és:

$$IC = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}}$$

Substituïm els valors coneguts:

$$IC = 0.6 \pm 1.645 \times \sqrt{\frac{0.6 \times 0.4}{200}}$$

$$IC = 0.6 \pm 1.645 \times \sqrt{\frac{0.24}{200}}$$

$$IC = 0.6 \pm 1.645 \times \sqrt{0.0012}$$

$$IC = 0.6 \pm 1.645 \times 0.03464$$

$$IC = 0.6 \pm 0.057$$

Finalment, l’interval de confiança és:

$$IC = [0.543, 0.657]$$

Així, amb un nivell de confiança del $90\%$, podem afirmar que la probabilitat de obtenir cara es troba entre el $54.3\%$ i el $65.7\%$.

(b) Es pretén repetir l’experiència per aconseguir que l’error comès sigui inferior a $0.03$, amb un nivell de confiança del $97\%$. Quin ha de ser la mida mínima de la mostra?

Utilitzarem la següent fórmula per calcular la mida mínima de la mostra $n$:

$$n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p} (1 – \hat{p})}{E_0^2},$$

on $E_0 = 0.03$ és l’error màxim admissible. Substituïm els valors coneguts:

$$n \geq \frac{(2.17)^2 \times 0.6 \times 0.4}{(0.03)^2}$$

$$n \geq \frac{4.7089 \times 0.24}{0.0009}$$

$$n \geq \frac{1.1297}{0.0009}$$

$$n \geq 1255.2$$

Així que, per aconseguir que l’error sigui inferior a $0.03$, amb un nivell de confiança del $97\%$, es necessita una mostra d’almenys $1256$ individus.