Inferència estadística. Llars amb connexió a internet

Amb els dades d’una mostra aleatòria es calcula que el percentatge de llars amb connexió a Internet és del 30%, amb un error màxim de l’estimació de 0.06 i un nivell de confiança del 93%. (a) Obteniu l’interval de confiança, al 93%, per a la proporció de llars amb connexió a Internet. (b) Calculeu la mida mínima de la mostra utilitzada.

Amb els dades d’una mostra aleatòria es calcula que el percentatge de llars amb connexió a Internet és del $30\%$, amb un error màxim de l’estimació de $0.06$ i un nivell de confiança del $93\%$.

(a) Obteniu l’interval de confiança, al $93\%$, per a la proporció de llars amb connexió a Internet.

La proporció mostral de llars amb connexió a Internet és $\hat{p} = 0.30$ i l’error màxim admissible és $E_0 = 0.06$. El valor crític associat al nivell de confiança del $93\%$ és $z_{\alpha/2} = 1.812$, el qual es pot obtenir de la taula de la distribució normal estàndard.

L’interval de confiança es calcula amb la fórmula:

\begin{equation}
IC = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}},
\end{equation}

on $n$ és la mida de la mostra.

Substituïm els valors coneguts:

\begin{equation}
E_0 = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}},
\end{equation}

Despejant $n$:

\begin{equation}
n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p} (1 – \hat{p})}{E_0^2}.
\end{equation}

Substituïm els valors:

\begin{equation}
n = \frac{(1.812)^2 \times 0.30 \times 0.70}{(0.06)^2},
\end{equation}

\begin{equation}
n = \frac{3.278 \times 0.21}{0.0036},
\end{equation}

\begin{equation}
n = \frac{0.687}{0.0036},
\end{equation}

\begin{equation}
n = 191.67.
\end{equation}

Per tant, la mida mínima de la mostra utilitzada és de $192$.