Inferència estadística. Interval i nivell de confiança

En una població, una variable aleatòria segueix una llei Normal amb desviació típica 8. S’ha escollit, a l’atzar, una mostra de mida 100 i la seva mitjana ha estat 67. (a) Calculeu l’interval de confiança, al 93%, per a la mitjana de la població. (b) Quants dades, com a mínim, són necessàries per estimar, amb un nivell de confiança del 99%, la mitjana de la població amb un error no superior a 2?

En una població, una variable aleatòria segueix una llei Normal amb desviació típica $8$. S’ha escollit, alatzar, una mostra de mida $100$ i la seva mitjana ha estat $67$.

(a) Calculeu l’interval de confiança, al $93\%$, per a la mitjana de la població.

La mitjana mostral és $\bar{x} = 67$, la desviació típica de la població és $\sigma = 8$, i la mida de la mostra és $n = 100$.

El valor crític associat al nivell de confiança del $93\%$ és $z_{\alpha/2} = 1.812$, que es pot obtenir de la taula de la distribució normal estàndard.

L’interval de confiança per a la mitjana de la població es calcula mitjançant la fórmula:

\begin{equation}
IC = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}},
\end{equation}

Substituïm els valors coneguts:

\begin{equation}
IC = 67 \pm 1.812 \frac{8}{\sqrt{100}},
\end{equation}

\begin{equation}
IC = 67 \pm 1.812 \times 0.8,
\end{equation}

\begin{equation}
IC = 67 \pm 1.4496.
\end{equation}

Per tant, l’interval de confiança per a la mitjana de la població és:

\begin{equation}
IC = [65.5504, 68.4496].
\end{equation}

Així, al $93\%$ de confiança, podem afirmar que la mitjana de la població es troba entre $65.55$ i $68.45$.

(b) Quants dades, com a mínim, són necessàries per estimar, amb un nivell de confiança del $99\%$, la mitjana de la població amb un error no superior a $2$?

Utilitzarem la fórmula per calcular la mida mínima de la mostra $n$:

\begin{equation}
n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E_0} \right)^2,
\end{equation}

on $E_0 = 2$ és l’error màxim admissible i $z_{\alpha/2} = 2.576$ per un nivell de confiança del $99\%$.

Substituïm els valors coneguts:

\begin{equation}
n = \left( \frac{2.576 \times 8}{2} \right)^2,
\end{equation}

\begin{equation}
n = \left( \frac{20.608}{2} \right)^2,
\end{equation}

\begin{equation}
n = (10.304)^2,
\end{equation}

\begin{equation}
n = 106.177.
\end{equation}

Per tant, es necessita una mostra de, com a mínim, $107$ individus.