Exercici 4 Opció B. SÈRIE 3 PAU. LOGSE. Curs 2002-2003

Un aparell portàtil està alimentat amb dues bateries iguals connectades en paral·lel. Les bateries tenen una tensió interna $E = 12$ V i una resistència interna $R_i = 0,5\ \Omega$. El consum de l’aparell és equivalent al d’una resistència de valor $R = 10\ \Omega$. a) Dibuixeu l’esquema equivalent del circuit elèctric de l’aparell. b) Determineu el corrent $I$ per la resistència $R$. c) Determineu la potència $P$ consumida per la resistència $R$.

Resolució del problema

Dades del problema

• Tensió de les bateries: $E = 12 \, \text{V}$
• Resistència interna de les bateries: $R_i = 0.5 \, \Omega$
• Resistència equivalent de l’aparell: $R = 10 \, \Omega$
• Les bateries estan connectades en paral·lel.

(a) Esquema equivalent del circuit

Quan les bateries estan connectades en paral·lel, la tensió total $E_{\text{total}}$ es manté a $12$ V, però la resistència interna es redueix. La resistència interna total de les dues bateries en paral·lel serà: $$R_{\text{total}} = \frac{R_i}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 \, \Omega$$

L’esquema del circuit serà:

    +-----[ Ri ]-----+
    |                 |
[ E ]               [ R ]
    |                 |
    +-----------------+

• $E$ és la font de tensió de les bateries ($12$ V),
• $R_i$ és la resistència interna total de les dues bateries en paral·lel ($0.25$ Ω),
• $R$ és la resistència del consum ($10$ Ω).

(b) Determinació del corrent $I$ per la resistència $R$

Per calcular el corrent II que circula per la resistència $R$, podem aplicar la llei d’Ohm al circuit complet. La tensió total és de $12$ V i la resistència total del circuit és la suma de la resistència interna total $R_i$ i la resistència $R$: $$R_{\text{total}} = R_i + R = 0.25 \, \Omega + 10 \, \Omega = 10.25 \, \Omega$$

Ara, utilitzant la llei d’Ohm ($V = I R$), podem calcular el corrent total $I$: $$I = \frac{V}{R_{\text{total}}} = \frac{12}{10.25} = 1.17 \, \text{A}$$

Per tant, el corrent $I$ que circula per la resistència $R$ és de 1.17 A.

(c) Determinació de la potència $P$ consumida per la resistència $R$

La potència consumida per una resistència es pot calcular utilitzant la fórmula: $$P = I^2 R$$

On:

• $I = 1.17 \, \text{A}$ és el corrent calculat,
• $R = 10 \, \Omega$ és la resistència.

Substituïm els valors: $$P = (1.17)^2 \times 10 = 1.3689 \times 10 = 13.69 \, \text{W}$$

Per tant, la potència consumida per la resistència $R$ és de 13.69 W.

Resum dels resultats

1. Esquema equivalent del circuit:
   • La font de tensió ($12$ V), les dues bateries en paral·lel, la resistència interna total ($R_i = 0.25 \, \Omega$) i la resistència de consum ($R = 10 \, \Omega$).
2. Corrent per la resistència $R$:
   • $I = 1.17 \, \text{A}$
3. Potència consumida per la resistència $R$:
   • $P = 13.69 \, \text{W}$