LEMNISCATA
Matemàtiques
Si a una peça amb una constant de proporcionalitat $k = 20$ kp/mm$^2$ se sotmet a un assaig de duresa Brinell, amb un diàmetre de la bola de $8$ mm, es produeix una empremta amb un diàmetre de $3$ mm. Calculeu: a) La càrrega aplicada. b) L’àrea del casquet esfèric que es produeix. c) El grau de duresa Brinell.
Per resoldre aquest problema, seguirem els passos següents per calcular la càrrega aplicada, l’àrea del casquet esféric i el grau de duresa Brinell.
La duresa Brinell (HB) es pot relacionar amb la càrrega i el diàmetre de l’empremta mitjançant la següent fórmula:
$$HB = \frac{F}{A}$$
On $A$ és l’àrea de l’empremta. Tenint en compte la constant de proporcionalitat $k$:
$$HB = k \cdot d^2$$
Podem combinar les dues equacions per trobar la força aplicada:
$$F = k \cdot d^2 \cdot A$$
L’àrea de l’empremta $A$ és l’àrea d’un cercle:
$$A = \frac{\pi d^2}{4}$$
$$A = \frac{\pi (3)^2}{4} = \frac{\pi \cdot 9}{4} \approx 7.0686 \, \text{mm}^2$$
$$HB = k \cdot d^2 = 20 \cdot (3)^2 = 20 \cdot 9 = 180 \, \text{kp}$$
Substituïm el valor de HB a l’equació de la càrrega:
$$F = HB \cdot A = 180 \cdot 7.0686 \approx 1277.44 \, \text{kp}$$
El casquet esféric que es forma a l’empremta es pot calcular amb la següent fórmula:
$$A_{casquet} = \frac{\pi d^2}{4}$$
Substituint el valor del diàmetre de l’empremta:
$$A_{casquet} = \frac{\pi (3)^2}{4} = \frac{\pi \cdot 9}{4} \approx 7.0686 \, \text{mm}^2$$
Hem calculat anteriorment que:
$$HB = 180 \, \text{kp}$$
a) La càrrega aplicada és aproximadament $1277.44$ kp.
b) L’àrea del casquet esféric és aproximadament $7.0686$ mm².
c) El grau de duresa Brinell és $180$ kp.