Forma vectorial de l’aproximació quadràtica multivariable

Forma vectorial de l’aproximació quadràtica multivariable

L’aproximació quadràtica multivariable d’una funció $f(\mathbf{x})$ en un punt $\mathbf{a}$ es deriva del desenvolupament de Taylor de segon ordre en diverses variables. En forma vectorial, aquesta aproximació captura el comportament local de la funció al voltant de $\mathbf{a}$ mitjançant un terme constant, un terme lineal i un terme quadràtic.

Desenvolupament de Taylor multivariable de segon ordre

Sigui $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una funció de $n$ variables, $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$, i volem aproximar $f(\mathbf{x})$ prop d’un punt $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$. Si $f$ té derivades parciales de primer i segon ordre contínues, el desenvolupament de Taylor de segon ordre en $\mathbf{a}$ és:

\begin{equation}
f(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} – \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} – \mathbf{a})^T H(\mathbf{a}) (\mathbf{x} – \mathbf{a}),
\end{equation}

on:

• $f(\mathbf{a})$: Valor de la funció en $\mathbf{a}$.
• $\nabla f(\mathbf{a}) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^T$: Gradient de $f$ avaluat en $\mathbf{a}$, un vector columna.
• $H(\mathbf{a})$: Matriu Hessiana de $f$ avaluada en $\mathbf{a}$, una matriu simètrica $n \times n$ amb les derivades parciales de segon ordre:
  \begin{equation}
  H(\mathbf{a}) = \begin{bmatrix}
  \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\
  \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
  \end{bmatrix},
  \end{equation}
  avaluades en $\mathbf{a}$.
• $\mathbf{x} – \mathbf{a}$: Vector de desplaçament des de $\mathbf{a}$, també denotat com $\mathbf{h} = \mathbf{x} – \mathbf{a}$.

Aquesta expressió és l’aproximació quadràtica multivariable en forma vectorial.

Interpretació dels termes

1. Terme constant: $f(\mathbf{a})$ representa el valor de la funció en el punt $\mathbf{a}$.
2. Terme lineal: $\nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} – \mathbf{a})$ descriu la variació lineal de la funció en la direcció del desplaçament $\mathbf{x} – \mathbf{a}$, segons el gradient.
3. Terme quadràtic: $\frac{1}{2} (\mathbf{x} – \mathbf{a})^T H(\mathbf{a}) (\mathbf{x} – \mathbf{a})$ captura la curvatura de la funció, determinada per la matriu Hessiana, i modela comportaments no lineals com màxims, mínims o punts de sella.

Expressió explícita

L’aproximació quadràtica es pot escriure com una forma quadràtica en $\mathbf{h} = \mathbf{x} – \mathbf{a}$:
\begin{equation}
q(\mathbf{h}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T \mathbf{h} + \frac{1}{2} \mathbf{h}^T H(\mathbf{a}) \mathbf{h},
\end{equation}
on $q(\mathbf{h})$ és la funció quadràtica que aproxima $f(\mathbf{a} + \mathbf{h})$.

Aplicacions

L’aproximació quadràtica multivariable s’utilitza en:

• Optimització: Per analitzar punts crítics (màxims, mínims o punts de sella) mitjançant la matriu Hessiana.
• Mètodes numèrics: Com en el mètode de Newton, on s’empra per iterar cap a solucions.
• Anàlisi de curvatura: La Hessiana descriu la geometria local de la funció.

Resposta final

La forma vectorial de l’aproximació quadràtica multivariable de $f(\mathbf{x})$ al voltant de $\mathbf{a}$ és:
\begin{equation}
\boxed{f(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} – \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} – \mathbf{a})^T H(\mathbf{a}) (\mathbf{x} – \mathbf{a})}
\end{equation}