Equació del pla tangent a una superfície

Troba l’equació del pla tangent a la superfície definida per la funció:

\begin{equation}
f(x, y) = 2x^2 – 3xy + 8y^2 + 2x – 4y + 4
\end{equation}

en el punt $(2, -1)$.

---

Per trobar l’equació del pla tangent a la superfície definida per la funció $f(x, y) = 2x^2 – 3xy + 8y^2 + 2x – 4y + 4$ en el punt $(2, -1)$, seguim aquests passos:

1. Determinar el punt de la superfície avaluant $f(2, -1)$.
2. Calcular les derivades parciales de primer ordre $\frac{\partial f}{\partial x}$ i $\frac{\partial f}{\partial y}$ per trobar el vector normal al pla tangent.
3. Utilitzar l’equació del pla tangent en la forma estàndard.

L’equació del pla tangent a una superfície $z = f(x, y)$ en un punt $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ és:

---

Pas 1: Avaluar la funció en el punt $(2, -1)$

La funció és:
\begin{equation}
f(x, y) = 2x^2 – 3xy + 8y^2 + 2x – 4y + 4.
\end{equation}

Avaluem $f(2, -1)$:
$$f(2, -1) = 2(2)^2 – 3(2)(-1) + 8(-1)^2 + 2(2) – 4(-1) + 4.$$
$$= 2 \cdot 4 + 6 + 8 \cdot 1 + 4 + 4 + 4 = 8 + 6 + 8 + 4 + 4 + 4 = 34.$$

Per tant, el punt de la superfície és $(2, -1, 34)$.

---

Pas 2: Calcular les derivades parciales

Calculem les derivades parciales de $f(x, y)$:

• Derivada respecte a $x$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( 2x^2 – 3xy + 8y^2 + 2x – 4y + 4 \right) = 4x – 3y + 2.
  \end{equation}
• Derivada respecte a $y$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2x^2 – 3xy + 8y^2 + 2x – 4y + 4 \right) = -3x + 16y – 4.
  \end{equation}

Avaluem les derivades en el punt $(2, -1)$:

• $\frac{\partial f}{\partial x}(2, -1)$:
  $$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x – 3y + 2,$$
  $$\frac{\partial f}{\partial x}(2, -1) = 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-1) + 2 = 8 + 3 + 2 = 13.$$
• $\frac{\partial f}{\partial y}(2, -1)$:
  $$\frac{\partial f}{\partial y} = -3x + 16y – 4,$$
  $$\frac{\partial f}{\partial y}(2, -1) = -3 \cdot 2 + 16 \cdot (-1) – 4 = -6 – 16 – 4 = -26.$$

---

Pas 3: Equació del pla tangent

L’equació del pla tangent en el punt $(x_0, y_0, f(x_0, y_0)) = (2, -1, 34)$ és:

\begin{equation}
z = f(2, -1) + \frac{\partial f}{\partial x}(2, -1)(x – 2) + \frac{\partial f}{\partial y}(2, -1)(y – (-1)).
\end{equation}

Substituïm els valors:
$$f(2, -1) = 34, \quad \frac{\partial f}{\partial x}(2, -1) = 13, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(2, -1) = -26,$$
$$z = 34 + 13(x – 2) – 26(y + 1).$$

Desenvolupem l’expressió:
$$z = 34 + 13x – 26 – 26y – 26.$$
$$z = 13x – 26y + 34 – 26 – 26 = 13x – 26y – 18.$$

Per tant, l’equació del pla tangent és:
\begin{equation}
z = 13x – 26y – 18.
\end{equation}

---

Pas 4: Verificació

Per verificar, comprovem que el punt $(2, -1, 34)$ pertany al pla:
$$z = 13 \cdot 2 – 26 \cdot (-1) – 18 = 26 + 26 – 18 = 34.$$

Això confirma que el punt $(2, -1, 34)$ està en el pla. A més, el vector normal al pla és $\left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, -1 \right) = (13, -26, -1)$, cosa que és consistent amb l’equació del pla.

---

Resposta final

L’equació del pla tangent a la superfície $f(x, y) = 2x^2 – 3xy + 8y^2 + 2x – 4y + 4$ en el punt $(2, -1)$ és: