Càlcul del Vector Gradient i la Derivada Direccional d’una funció de 2 variables

Sigui la funció:

\begin{equation}
f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}
\end{equation}

(a) Trobar el vector gradient de ( f ) en el punt ( P(4, -3) ).

(b) Calcular la derivada direccional de ( f ) en la direcció del vector que va del punt ( P(4, -3) ) al punt ( Q(1, 0) ).

---

Anem a resoldre cada apartat pas a pas: trobar el vector gradient de la funció $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ en el punt $P(4, -3)$ i calcular la derivada direccional en la direcció del vector que va de $P(4, -3)$ a $Q(1, 0)$.

---

(a) Trobar el vector gradient de $f$ en el punt $P(4, -3)$

El vector gradient d’una funció $f(x, y)$, denotat $\nabla f$, és un vector format per les derivades parciales de primer ordre:

Pas 1: Calcular les derivades parciales

La funció és:

\begin{equation}
f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} = (x^2 + y^2)^{1/2}.
\end{equation}

• Derivada parcial respecte a $x$:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( (x^2 + y^2)^{1/2} \right).$$

Utilitzem la regla de la cadena. Sigui $u = x^2 + y^2$, llavors $f = u^{1/2}$, i:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}.$$

Sabem que:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2) = 2x.$$

Per tant:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}.$$

• Derivada parcial respecte a $y$:

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( (x^2 + y^2)^{1/2} \right).$$

Apliquem de nou la regla de la cadena:

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2)^{-1/2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2).$$

$$\frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2) = 2y.$$

Llavors:

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2)^{-1/2} \cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}.$$

El vector gradient és:

Pas 2: Avaluar el gradient en $P(4, -3)$

Substituïm $x = 4$, $y = -3$:

$$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.$$

• Component $x$:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{4}{5}.$$

• Component $y$:

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{-3}{5}.$$

Per tant, el vector gradient en $P(4, -3)$ és:

---

(b) Calcular la derivada direccional en la direcció del vector de $P(4, -3)$ a $Q(1, 0)$

La derivada direccional de $f$ en el punt $P$ en la direcció d’un vector $\mathbf{v}$ es calcula com:

on $\mathbf{u}$ és el vector unitari en la direcció de $\mathbf{v}$, i $\cdot$ denota el producte escalar.

Pas 1: Trobar el vector de $P$ a $Q$

Els punts són $P(4, -3)$ i $Q(1, 0)$. El vector de $P$ a $Q$ és:

$$\mathbf{v} = Q – P = (1 – 4, 0 – (-3)) = (-3, 3).$$

Pas 2: Normalitzar el vector per obtenir $\mathbf{u}$

Per obtenir el vector unitari $\mathbf{u}$, dividim $\mathbf{v}$ per la seva magnitud:

$$|\mathbf{v}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$$

El vector unitari és:

$$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \frac{(-3, 3)}{3\sqrt{2}} = \left( \frac{-3}{3\sqrt{2}}, \frac{3}{3\sqrt{2}} \right) = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right).$$

Simplifiquem:

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Per tant:

Pas 3: Calcular la derivada direccional

Utilitzem el vector gradient calculat en l’apartat (a):

$$\nabla f(4, -3) = \left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right).$$

La derivada direccional és el producte escalar:

$$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f(4, -3) \cdot \mathbf{u} = \left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right) \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right).$$

Calculem:

$$D_{\mathbf{u}} f = \left( \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right) + \left( \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right).$$

• Primer terme:

$$\frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{4\sqrt{2}}{10} = -\frac{2\sqrt{2}}{5}.$$

• Segon terme:

$$\left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{3\sqrt{2}}{10}.$$

Sumem:

$$D_{\mathbf{u}} f = -\frac{2\sqrt{2}}{5} – \frac{3\sqrt{2}}{10}.$$

Per sumar, posem un denominador comú (10):

$$-\frac{2\sqrt{2}}{5} = -\frac{4\sqrt{2}}{10},$$

$$D_{\mathbf{u}} f = -\frac{4\sqrt{2}}{10} – \frac{3\sqrt{2}}{10} = -\frac{7\sqrt{2}}{10}.$$

Per tant, la derivada direccional és:

---

Resposta final

(a) El vector gradient de $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ en el punt $P(4, -3)$ és:

(b) La derivada direccional de $f$ en $P(4, -3)$ en la direcció del vector de $P$ a $Q(1, 0)$ és: