LEMNISCATA
Matemàtiques, física, química…
Derivada direccional màxima d’una funció en un punt
Derivada direccional màxima d’una funció en un punt
Calcula la $\textbf{derivada direccional màxima}$ de la funció $$f(x, y) = 3x^2 – 4xy + 2y^2$$ en el punt $(-2, 3)$.
Derivada direccional màxima
Pas 1: Calcular el gradient $\nabla f(x, y)$ $$\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x} = 6x – 4y \\ \frac{\partial f}{\partial y} = -4x + 4y\end{cases}$$ Per tant,
$$\nabla f(x, y) = (6x – 4y,\; -4x + 4y)$$
Pas 2: Avaluar el gradient al punt $(-2, 3)$
$$\nabla f(-2, 3) = (6(-2) – 4(3),\; -4(-2) + 4(3)) = (-12 – 12,\; 8 + 12) = (-24, 20)$$
Pas 3: Calcular la derivada direccional màxima
La derivada direccional màxima és igual al mòdul del gradient:
$$|\nabla f(-2, 3)| = \sqrt{(-24)^2 + 20^2} = \sqrt{576 + 400} = \sqrt{976}$$
$$\sqrt{976} = 4\sqrt{61}$$
Resultat final:
$$\text{La derivada direccional màxima és } 4\sqrt{61}$$
$$\text{I es produeix en la direcció del vector } (-24, 20)$$
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora
Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss www.campanadegauss.cat