Càlcul de la Hessiana en una funció de 2 variables

Calcula la matriu Hessiana de la funció:

\begin{equation}
f(x, y) = x^3 – 2xy – y^6
\end{equation}

en el punt $(1, 2)$.

Per calcular la matriu Hessiana de la funció $f(x, y) = x^3 – 2xy – y^6$ en el punt $(1, 2)$, seguim aquests passos:

1. Calcular les derivades parciales de primer ordre.
2. Calcular les derivades parciales de segon ordre.
3. Construir la matriu Hessiana amb les derivades de segon ordre.
4. Avaluar la matriu Hessiana en el punt $(1, 2)$.

Pas 1: Derivades parciales de primer ordre

La funció és:
\begin{equation}
f(x, y) = x^3 – 2xy – y^6.
\end{equation}

Calculem les derivades parciales respecte a (x) i (y):

• Derivada respecte a $x$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( x^3 – 2xy – y^6 \right) = 3x^2 – 2y.
  \end{equation}
  (El terme $-y^6$ no depèn de $x$.)
• Derivada respecte a $y$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( x^3 – 2xy – y^6 \right) = -2x – 6y^5.
  \end{equation}
  (El terme $x^3$ no depèn de $y$.)

Pas 2: Derivades parciales de segon ordre

La matriu Hessiana requereix les derivades de segon ordre: $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, i $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$. Com que les derivades mixtes són simètriques ($\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$), calculem les necessàries.

• $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 – 2y,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( 3x^2 – 2y \right) = 6x.
  \end{equation}
  (El terme $-2y$ no depèn de $x$.)
• $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial y} = -2x – 6y^5,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( -2x – 6y^5 \right) = -30y^4.
  \end{equation}
  (El terme $-2x$ no depèn de $y$.)
• $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 – 2y,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 3x^2 – 2y \right) = -2.
  \end{equation}
  (El terme $3x^2$ no depèn de $y$.)
• (\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}):
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial y} = -2x – 6y^5,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -2x – 6y^5 \right) = -2.
  \end{equation}
  (El terme $-6y^5$ no depèn de $x$.)

Confirmem que $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -2$, com ha de ser.

Pas 3: Construcció de la matriu Hessiana

La matriu Hessiana és:
\begin{equation}
H = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
6x & -2 \\
-2 & -30y^4
\end{bmatrix}.
\end{equation}

Pas 4: Avaluació en el punt $(1, 2)$

Avaluem cada entrada de la matriu Hessiana en $x = 1$, $y = 2$:

• $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x$:
  $$6 \cdot 1 = 6.$$
• $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -2$:
  $$-2.$$
• $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -2$:
  $$-2.$$
• $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -30y^4$:
  $$y^4 = 2^4 = 16, \quad -30 \cdot 16 = -480.$$

Per tant, la matriu Hessiana en $(1, 2)$ és:
\begin{equation}
H = \begin{bmatrix}
6 & -2 \\
-2 & -480
\end{bmatrix}.
\end{equation}

Resposta final

La matriu Hessiana de la funció $f(x, y) = x^3 – 2xy – y^6$ en el punt $(1, 2)$ és:
\begin{equation}
\boxed{\begin{bmatrix}
6 & -2 \\
-2 & -480
\end{bmatrix}}
\end{equation}