Anàlisi dels Extrems Relatius de la Funció Multivariable

Calcula tots els extrems relatius de la següent funció multivariable:

\begin{equation}
f(x, y) = x^2 – y^2 + 2xy + 4x – 4y
\end{equation}

---

Per trobar els extrems relatius de la funció $f(x, y) = x^2 – y^2 + 2xy + 4x – 4y$, seguim aquests passos:

1. Trobar els punts crítics resolent el sistema d’equacions donat per les derivades parciales igualades a zero: $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ i $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$.
2. Classificar els punts crítics utilitzant la matriu Hessiana i el criteri del discriminant (test de la segona derivada per a funcions de dues variables).
3. Determinar si els punts crítics són màxims relatius, mínims relatius o punts de sella.

---

Pas 1: Trobar els punts crítics

Calculem les derivades parciales de primer ordre respecte a $x$ i $y$.

La funció és:
\begin{equation}
f(x, y) = x^2 – y^2 + 2xy + 4x – 4y.
\end{equation}

• Derivada respecte a $x$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( x^2 – y^2 + 2xy + 4x – 4y \right) = 2x + 2y + 4.
  \end{equation}
• Derivada respecte a $y$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( x^2 – y^2 + 2xy + 4x – 4y \right) = -2y + 2x – 4.
  \end{equation}

Igualem les derivades a zero per trobar els punts crítics:
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y + 4 = 0,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial y} = 2x – 2y – 4 = 0.
\end{equation}

Simplifiquem:
\begin{equation}
x + y + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x + y = -2,
\end{equation}
\begin{equation}
x – y – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x – y = 2.
\end{equation}

Resolem aquest sistema d’equacions lineals sumant les dues equacions:
$$(x + y) + (x – y) = -2 + 2,$$
$$2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0.$$

Substituïm $x = 0$ en la primera equació:
$$0 + y = -2 \quad \Rightarrow \quad y = -2.$$

Per tant, l’únic punt crític és:
\begin{equation}
(0, -2).
\end{equation}

---

Pas 2: Calcular la matriu Hessiana

Per classificar el punt crític, utilitzem la matriu Hessiana, que conté les derivades parciales de segon ordre. Calculem aquestes derivades:

• Derivada de segon ordre respecte a $x$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y + 4,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (2x + 2y + 4) = 2.
  \end{equation}
• Derivada de segon ordre respecte a $y$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial y} = 2x – 2y – 4,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (2x – 2y – 4) = -2.
  \end{equation}
• Derivades mixtes:
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x + 2y + 4) = 2,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x – 2y – 4) = 2.
  \end{equation}

La matriu Hessiana és:
\begin{equation}
H = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & 2 \\
2 & -2
\end{bmatrix}.
\end{equation}

---

Pas 3: Classificació del punt crític

Per classificar el punt crític $(0, -2)$, utilitzem el criteri del discriminant de la matriu Hessiana. El discriminant es calcula com:
\begin{equation}
D = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} – \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right)^2.
\end{equation}

Substituïm els valors:
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2,$$
$$D = (2) \cdot (-2) – (2)^2 = -4 – 4 = -8.$$

Analitzem segons el criteri:

• Si $D > 0$ i $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0$, és un mínim relatiu.
• Si $D > 0$ i $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0$, és un màxim relatiu.
• Si $D < 0$, és un punt de sella.
• Si $D = 0$, el test no és conclusiu.

Com que $D = -8 < 0$, el punt $(0, -2)$ és un punt de sella. No cal avaluar la matriu Hessiana en el punt específic, ja que les derivades de segon ordre són constants (no depenen de $x$ ni $y$).

---

Pas 4: Verificació d’altres punts crítics

El sistema d’equacions lineals:
$$x + y + 2 = 0, \quad x – y – 2 = 0,$$
només té una solució $(x = 0, y = -2)$. Com que la funció és un polinomi de grau 2 (sense singularitats ni discontinuïtats), no hi ha altres punts crítics possibles.

---

Pas 5: Valor de la funció en el punt crític (opcional)

Per completar l’anàlisi, calculem el valor de $f(x, y)$ en el punt crític $(0, -2)$:
$$f(0, -2) = 0^2 – (-2)^2 + 2 \cdot 0 \cdot (-2) + 4 \cdot 0 – 4 \cdot (-2) = 0 – 4 + 0 + 0 + 8 = 4.$$

Això indica que el punt de sella es troba a $f(0, -2) = 4$.

---

Resposta final

La funció $f(x, y) = x^2 – y^2 + 2xy + 4x – 4y$ té un únic punt crític en $(0, -2)$, que és un punt de sella. No hi ha màxims ni mínims relatius.

\begin{equation}
\boxed{\text{Punt de sella en } (0, -2)}
\end{equation}