Força normal en una trajectòria circular vertical: bàscula d’un pilot acrobàtic

Un pilot acrobàtic segueix una trajectòria circular de radi $R = 2000 \, \text{m}$ en un pla vertical amb una velocitat de $540 \, \text{km/h}$. La seva massa és de $70 \, \text{kg}$ i porta una bàscula al seient. a) Què marca la bàscula en el punt més alt i en el punt més baix de la trajectòria? b) Amb quina velocitat ha de passar pel punt més alt perquè la bàscula marqui zero?

---

Dades

$\begin{aligned} R &= 2000 \, \text{m} \\ v &= 540 \, \text{km/h} = 150 \, \text{m/s} \\ m &= 70 \, \text{kg} \\ g &= 9{,}8 \, \text{m/s}^2 \end{aligned}$

---

a) Lectura de la bàscula al punt més alt i més baix

Primer calculem l’acceleració centrípeta:

\begin{equation}
a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(150)^2}{2000} = \frac{22500}{2000} = 11{,}25 , \text{m/s}^2
\end{equation}

Punt més alt

En aquest punt, tant el pes mgmg com la força normal NN apunten cap avall (cap al centre del cercle):

\begin{equation}
mg + N_{\text{alt}} = m \cdot a_c \Rightarrow N_{\text{alt}} = m(a_c – g)
\end{equation}

Substituïm:

\begin{equation}
N_{\text{alt}} = 70(11{,}25 – 9{,}8) = 70 \cdot 1{,}45 = 101{,}5 , \text{N}
\end{equation}

Punt més baix

En aquest punt, la força centrípeta apunta cap amunt. La força normal actua cap amunt, mentre que el pes cap avall:

\begin{equation}
N_{\text{baix}} – mg = m \cdot a_c \Rightarrow N_{\text{baix}} = m(a_c + g)
\end{equation}

Substituïm:

\begin{equation}
N_{\text{baix}} = 70(11{,}25 + 9{,}8) = 70 \cdot 21{,}05 = 1473{,}5 , \text{N}
\end{equation}

Resultats de l’apartat a)

• Punt més alt: $\boxed{N_{\text{alt}} = 101{,}5 \, \text{N}}$
• Punt més baix: $\boxed{N_{\text{baix}} = 1473{,}5 \, \text{N}}$

---

b) Velocitat per a que la bàscula marqui zero al punt més alt

La bàscula marca zero quan la força normal és nul·la:

\begin{equation}
N_{\text{alt}} = 0 \Rightarrow mg = m \cdot \frac{v^2}{R} \Rightarrow g = \frac{v^2}{R}
\end{equation}

Aïllem $v$:

\begin{equation}
v = \sqrt{gR} = \sqrt{9{,}8 \cdot 2000} = \sqrt{19600} = 140 , \text{m/s}
\end{equation}

Passem a km/h:

\begin{equation}
v = 140 \cdot \frac{3600}{1000} = 504 , \text{km/h}
\end{equation}

Resultat de l’apartat b)

$$\boxed{v = 140 \, \text{m/s} = 504 \, \text{km/h}}$$