Força electromotriu induïda en una bobina

Una bobina de $50$ voltes i $10$ cm$^2$ de secció està situada amb el seu eix paral·lel a les línies d’un camp magnètic de $1$ T: a) Si el camp disminueix linealment amb el temps fins a anul·lar-se en dos segons, calcula la força electromotriu induïda. b) Si la bobina gira al voltant d’un eix normal al camp magnètic inicial a una velocitat constant de $10$ rad$\cdot$s$^{-1}$, quina serà l’expressió de la força electromotriu induïda?

a) La força electromotriu induïda en una bobina de 50 espirals es calcula amb l’expressió:
$$\mathcal{E} = -N \cdot \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}.$$
On $N = 50$ espirals i $\Delta t = 2 \, \text{s}$. La variació del flux és:
$$\Phi_{\text{inicial}} = B_{\text{inicial}} \cdot \vec{S} = B_{\text{inicial}} \cdot S \cdot \cos \alpha = 1 \cdot 10^{-4} \cdot \cos 0° = 10^{-4} \, \text{Wb},$$
$$\Phi_{\text{final}} = B_{\text{final}} \cdot \vec{S} = B_{\text{final}} \cdot S \cdot \cos \alpha = 0 \cdot 10^{-4} \cdot \cos 0° = 0 \, \text{Wb},$$
$$\Delta \Phi = \Phi_{\text{final}} – \Phi_{\text{inicial}} = 0 – 10^{-4} = -10^{-4} \, \text{Wb}.$$

La f.e.m. induïda és:
$$\mathcal{E} = -N \cdot \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -50 \cdot \frac{-10^{-4}}{2} = 0,025 \, \text{V}.$$

$\textbf{Resposta}$: La força electromotriu induïda és $0,025 \, \text{V}$.

b) L’angle que forma el vector superfície de la bobina amb el camp magnètic és:
$$\alpha = \omega \cdot t,$$
i el flux magnètic que la travessa, en funció del temps:
$$\Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B \cdot S \cdot \cos \alpha = B \cdot S \cdot \cos (\omega \cdot t).$$

Per tant, l’expressió que correspon a la f.e.m. induïda en cada instant és:
$$\mathcal{E} = -N \cdot \frac{d\Phi}{dt} = -N \cdot \frac{d}{dt} [B \cdot S \cdot \cos (\omega \cdot t)] = -N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin (\omega \cdot t),$$
$$\mathcal{E} = -50 \cdot 10^{-4} \cdot 10 \cdot \sin (10 \cdot t) = -0,5 \cdot \sin (10 \cdot t) \, \text{V}.$$

$\textbf{Resposta}$: L’expressió de la força electromotriu induïda és $\mathcal{E} = -0,5 \cdot \sin (10 \cdot t) \, \text{V}$.

\end{document}