Falsos positius

Suposem que una prova de laboratori en una mostra de sang dóna un de dos resultats, positiu o negatiu. Es troba que el 95% de les persones amb una malaltia concreta produeixen un resultat positiu. Però el 2% de les persones sense la malaltia també produiran un resultat positiu (un fals positiu). Suposem que l’1% de la població té realment la malaltia. Quina és la probabilitat que una persona escollida a l’atzar de la població tingui la malaltia, donat que la seva mostra de sang dóna un resultat positiu?

Sigui \(P(F)\) la proporció de persones de la població amb la característica \(F\). Aleshores \(P(F|G)\) és la proporció d’aquells de la població amb la característica \(G\) que també tenen la característica \(F\). La probabilitat desitjada és \(P(D|+)\) on \(D\) indica la malaltia, i \(+\) indica un resultat positiu de la prova. Les dades del problema indiquen que\[ P(+|D) = 0.95, \quad P(+|D^c) = 0.02, \quad P(D) = 0.01, \quad P(D^c) = 0.99. \]Aplicant la regla de Bayes amb \(A = +\), \(B_1 = D\), \(B_2 = D^c\), dona\[ P(D|+) = \frac{P(+|D)P(D)}{P(+|D)P(D) + P(+|D^c)P(D^c)} \]\[ = \frac{(.95)(.01)}{(.95)(.01) + (.02)(.99)} \]\[ = \frac{95}{293} \approx 32\% \]