Diagnòstic d’un pacient concret

Suposem que un metge està examinant un pacient. Aquest pacient no ha estat escollit a l’atzar. Va entrar a la consulta del metge perquè se sentia malalt. Després d’examinar el pacient, però sense veure el resultat de la prova de sang, l’opinió del metge és que hi ha un 30% de probabilitat que el pacient tingui la malaltia. Com hauria de revisar el metge la seva opinió després de veure un resultat positiu a la prova de sang?

Per ser coherent amb les regles de probabilitat, el metge hauria d’utilitzar la regla de Bayes. Ara les probabilitats a priori són\[ P(D) = 30\%, \quad P(D^c) = 70\% \]mentre que seria raonable suposar que les probabilitats condicionals\[ P(+|D) = 95\%, \quad P(+|D^c) = 2\% \]són les mateixes que abans. La probabilitat a posteriori es pot calcular com abans, utilitzant la regla de Bayes, però amb les noves probabilitats a priori. En termes de probabilitats (odds), les probabilitats a priori a favor de la malaltia són 3 a 7, la raó de versemblança a favor de la malaltia és 95 a 2, de manera que les probabilitats a posteriori a favor són 3 × 95 a 7 × 2, o 285 a 14. Així, donat el resultat positiu de la prova de sang, el metge hauria de revisar la seva opinió i dir que el pacient té la malaltia amb probabilitat\[ \frac{285}{285 + 14} = \frac{285}{299} = 0.95317 \]