Anàlisi del Moviment d’un Tambor amb una corda i Càrrega

Sobre un tambor de radi $R$ i massa $M$ està enrotllada una corda, de massa menyspreable, de la qual penja un cos de massa $M/2$. Calcular la velocitat angular del tambor en funció del temps. ¿Quin ha de ser el valor del radi del tambor perquè en un minut aconsegueixi $94$ voltes per segon?

---

Dades

• Massa del tambor: $M$.
• Radi del tambor: $R$.
• Massa del cos penjat: $m = M/2$.
• Corda de massa menyspreable.
• Sense fregament (assumpció típica si no es diu el contrari).

Pas 1: Equacions de moviment

El sistema consisteix en el tambor (que gira) i el cos penjat (que cau), connectats per la corda. El cos penjat experimenta una acceleració $a$ cap avall, i el tambor gira amb acceleració angular $\alpha$, relacionades per:

$$a = R \alpha,$$

on $a$ és l’acceleració lineal del centre de massa del cos penjat.

Forces sobre el cos penjat ($m = M/2$)

• Pes: $m g = (M/2) g$, cap avall.
• Tensió de la corda: $T$, cap amunt.
• Equació de Newton: $m a = m g – T$,

$$\frac{M}{2} a = \frac{M}{2} g – T. \quad (1)$$

Moment de forces sobre el tambor

El tambor gira per la tensió $T$ aplicada al radi $R$. El moment d’inèrcia del tambor (tractat com un cilindre sòlid, assumint que és uniforme) és:

$$I = \frac{1}{2} M R^2.$$

La parella neta és $\tau = T R$, i la segona llei de rotació és:

$$\tau = I \alpha,$$

$$T R = \frac{1}{2} M R^2 \alpha. \quad (2)$$

Com $\alpha = a / R$,

$$T R = \frac{1}{2} M R^2 \cdot \frac{a}{R},$$

$$T = \frac{1}{2} M a. \quad (3)$$

Pas 2: Resoldre el sistema d’equacions

Substituïm $T$ de l’equació (3) a l’equació (1):

$$\frac{M}{2} a = \frac{M}{2} g – \frac{1}{2} M a,$$

Multipliquem per 2 per eliminar denominadors:

$$M a = M g – M a,$$

$$2 M a = M g,$$

$$a = \frac{g}{2}. \quad (4)$$

Aquesta és l’acceleració lineal del cos penjat i del punt de la corda.

La velocitat angular del tambor és:

$$\alpha = \frac{a}{R} = \frac{g}{2 R}.$$

La velocitat angular $\omega$ en funció del temps (integrant $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$, amb $\omega(0) = 0$):

$$\frac{d\omega}{dt} = \frac{g}{2 R},$$

$$\omega(t) = \int_0^t \frac{g}{2 R} \, dt = \frac{g t}{2 R}.$$

Resposta (a):
La velocitat angular del tambor en funció del temps és:

$$\omega(t) = \frac{g t}{2 R}.$$

Pas 3: Càlcul del radi per 94 voltes per segon en un minut

• Voltes per segon desitjades: 94 r.p.s.
• Temps: 1 minut = 60 s.
• Convertim voltes per segon a rad/s: $\omega = 94 \cdot 2\pi \approx 590.8 \, \text{rad/s}$.

Substituïm a l’equació de $\omega(t)$ per $t = 60 \, \text{s}$:

$$\omega(60) = \frac{g \cdot 60}{2 R} = 590.8,$$

$$\frac{9.8 \cdot 60}{2 R} = 590.8,$$

$$\frac{588}{2 R} = 590.8,$$

$$294 / R = 590.8,$$

$$R = \frac{294}{590.8} \approx 0.497 \, \text{m}.$$

Resposta (b):
El radi del tambor ha de ser aproximadament $R \approx 0.497 \, \text{m}$ (o 49.7 cm).

---

Resum Final

(a) Velocitat angular del tambor: $\omega(t) = \frac{g t}{2 R}$.
(b) Radi necessari: $R \approx 0.497 \, \text{m}$.