Explosió d’una Roca i Col·lisió

En una pedrera han dinamitat una roca que es trobava en repòs. Aquesta s’ha descompost en tres fragments A, B i C. Els tres fragments de massa \( m_A = 20 \, \text{kg} \), \( m_B = 20 \, \text{kg} \) i \( m_C = 10 \, \text{kg} \), han sortit movent-se paral·lelament al terra, amb velocitats \( \vec{v}_A = 15 \, \text{m/s} \, \hat{j} \), \( \vec{v}_B = 10 \, \text{m/s} \, \hat{i} \), i \( \vec{v}_C = v_{Cx} \, \hat{i} + v_{Cy} \, \hat{j} \). a) Determineu les components \( v_{Cx} \) i \( v_{Cy} \) de la velocitat de sortida del fragment C. b) Calculeu la velocitat del centre de masses del sistema després de l’explosió. Tot seguit, s’observa que el fragment B topa amb un bidó de \( 300 \, \text{kg} \) que conté grava i que estava situat al costat de la roca. La durada del xoc és d’uns \( 5,0 \, \text{ms} \) i la velocitat amb què surt projectat el bidó és de \( 1,0 \, \text{m/s} \). c) Quina serà la velocitat de B després de la col·lisió? d) Quina és la força mitjana que la roca ha exercit sobre el bidó durant la col·lisió?

Dades inicials

Masses:

• \( m_A = 20 \, \text{kg} \)

• \( m_B = 20 \, \text{kg} \) – \( m_C = 10 \, \text{kg} \)

Velocitats inicials dels fragments:

• \( \vec{v}_A = 15 \, \text{m/s} \, \hat{j} \)

• \( \vec{v}_B = 10 \, \text{m/s} \, \hat{i} \)

• \( \vec{v}_C = v_{Cx} \, \hat{i} + v_{Cy} \, \hat{j} \)

• La roca estava inicialment en repòs, per tant, el moment inicial del sistema és zero.

• Els fragments es mouen paral·lelament al terra (pla \( xy \)).

Col·lisió:

• Massa del bidó: \( m_{\text{bidó}} = 300 \, \text{kg} \)

• Velocitat inicial del bidó: \( \vec{v}_{\text{bidó, inicial}} = 0 \, \text{m/s} \)

• Velocitat final del bidó: \( \vec{v}_{\text{bidó, final}} = 1 \, \text{m/s} \, \hat{i} \)

• Durada del xoc: \( \Delta t = 5,0 \, \text{ms} = 0,005 \, \text{s} \)

a) Determinació de les components \( v_{Cx} \) i \( v_{Cy} \) de la velocitat del fragment C. Com que la roca estava en repòs abans de l’explosió, el moment total del sistema abans i després de l’explosió ha de ser zero (conservació del moment). El moment total després de l’explosió és:\[\vec{p}_{\text{total}} = \vec{p}_A + \vec{p}_B + \vec{p}_C = 0\]Moments dels fragments:- Fragment \( A \): \( \vec{p}_A = m_A \vec{v}_A = 20 \cdot (15 \, \hat{j}) = 300 \, \hat{j} \, \text{kg·m/s} \)- Fragment \( B \): \( \vec{p}_B = m_B \vec{v}_B = 20 \cdot (10 \, \hat{i}) = 200 \, \hat{i} \, \text{kg·m/s} \)- Fragment \( C \): \( \vec{p}_C = m_C \vec{v}_C = 10 \cdot (v_{Cx} \, \hat{i} + v_{Cy} \, \hat{j}) = 10 v_{Cx} \, \hat{i} + 10 v_{Cy} \, \hat{j} \, \text{kg·m/s} \)Sumant i igualant a zero:\[200 \, \hat{i} + 300 \, \hat{j} + 10 v_{Cx} \, \hat{i} + 10 v_{Cy} \, \hat{j} = 0\]Equacions per components:

1. Component \( \hat{i} \):\[200 + 10 v_{Cx} = 0 \implies v_{Cx} = -20 \, \text{m/s}\]

2. Component \( \hat{j} \):\[300 + 10 v_{Cy} = 0 \implies v_{Cy} = -30 \, \text{m/s}\]

Resposta a):\[v_{Cx} = -20 \, \text{m/s}, \quad v_{Cy} = -30 \, \text{m/s}\]

b) Velocitat del centre de masses del sistema després de l’explosió. La velocitat del centre de masses és:\[\vec{v}_{\text{CM}} = \frac{\vec{p}_{\text{total}}}{m_{\text{total}}}\]Com que \( \vec{p}_{\text{total}} = 0 \) (per la conservació del moment) i la massa total és:\[m_{\text{total}} = m_A + m_B + m_C = 20 + 20 + 10 = 50 \, \text{kg}\]\[\vec{v}_{\text{CM}} = \frac{0}{50} = 0 \, \text{m/s}\]

Resposta b):\[\vec{v}_{\text{CM}} = 0 \, \text{m/s}\]

c) Velocitat del fragment \( B \) després de la col·lisió. Assumim que la col·lisió és inèlastica parcial i conservem el moment en la direcció \( \hat{i} \):\[m_B v_{B, \text{inicial}} + m_{\text{bidó}} v_{\text{bidó, inicial}} = m_B v_{B, \text{final}} + m_{\text{bidó}} v_{\text{bidó, final}}\]Substituint:\[20 \cdot 10 + 300 \cdot 0 = 20 \cdot v_{B, \text{final}} + 300 \cdot 1\]\[200 = 20 v_{B, \text{final}} + 300 \implies 20 v_{B, \text{final}} = -100 \implies v_{B, \text{final}} = -5 \, \text{m/s}\]

Resposta c):\[\vec{v}_{B, \text{final}} = -5 \, \text{m/s} \, \hat{i}\]

d) Força mitjana exercida pel fragment \( B \) sobre el bidó. La força mitjana es calcula amb el teorema de l’impuls-moment:\[\vec{F}_{\text{mitjana}} \Delta t = \Delta \vec{p}_{\text{bidó}}\]Canvi de moment del bidó:\[\Delta \vec{p}_{\text{bidó}} = m_{\text{bidó}} \vec{v}_{\text{bidó, final}} – m_{\text{bidó}} \vec{v}_{\text{bidó, inicial}} = 300 \cdot 1 \, \hat{i} – 0 = 300 \, \hat{i} \, \text{kg·m/s}\]Força mitjana:\[\vec{F}_{\text{mitjana}} = \frac{300 \, \hat{i}}{0,005} = 60000 \, \hat{i} \, \text{N}\]

Resposta d):\[\vec{F}_{\text{mitjana}} = 60000 \, \text{N} \, \hat{i}\]

Resum de respostes:

a) \( v_{Cx} = -20 \, \text{m/s}, \, v_{Cy} = -30 \, \text{m/s} \)

b) \( \vec{v}_{\text{CM}} = 0 \, \text{m/s} \)

c) \( \vec{v}_{B, \text{final}} = -5 \, \text{m/s} \, \hat{i} \)

d) \( \vec{F}_{\text{mitjana}} = 60000 \, \text{N} \, \hat{i} \)