Demostració del Nombre de Reynolds en un Tub

Demostreu que en un tub de radi \( r \) pel qual flueix un cabal \( Q \) d’un fluid de densitat \( \rho \) i viscositat \( \eta \), el nombre de Reynolds es pot expressar de la manera següent:\[ N_R = \frac{2 \rho Q}{\pi r \eta}. \]

El nombre de Reynolds es defineix com:\[ N_R = \frac{\rho v D}{\eta}, \]on:

• \( \rho \): densitat del fluid,
• \( v \): velocitat mitjana del fluid,
• \( D \): diàmetre del tub (\( D = 2r \)),
• \( \eta \): viscositat dinàmica del fluid.

En un tub circular, el cabal volumètric \( Q \) està relacionat amb la velocitat mitjana \( v \) i l’àrea de la secció transversal del tub \( A \):\[ Q = v A, \]on l’àrea de la secció transversal és:\[ A = \pi r^2. \]Aïllant la velocitat mitjana \( v \):\[ v = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\pi r^2}. \]Substituïm \( v \) i \( D = 2r \) en l’expressió del nombre de Reynolds:\[ N_R = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{\rho \left( \frac{Q}{\pi r^2} \right) (2r)}{\eta}. \]Simplifiquem l’expressió pas a pas:

1. Substituïm \( v \) i \( D \):\[ N_R = \frac{\rho \cdot \frac{Q}{\pi r^2} \cdot 2r}{\eta}. \]

2. Simplifiquem els termes:\[ N_R = \frac{\rho Q \cdot 2r}{\eta \cdot \pi r^2} = \frac{2 \rho Q}{\eta \pi r}. \]Reorganitzant, obtenim:\[ N_R = \frac{2 \rho Q}{\pi r \eta}. \] Aquesta és exactament l’expressió que volíem demostrar:\[ N_R = \frac{2 \rho Q}{\pi \eta r}. \]

Conclusió: Hem demostrat que el nombre de Reynolds es pot expressar com \( N_R = \frac{2 \rho Q}{\pi r \eta} \), tal com es demanava.