Exemple de Diagonalització d’una Matriu amb Base Ortonormal

Si es possible, diagonalitzeu la matriu $A = \begin{bmatrix} 6 & -2 & -1 \\ -2 & 6 & -1 \\ -1 & -1 & 5 \end{bmatrix}$.

L’equació característica de $A$ és:
$$0 = -\lambda^3 + 17\lambda^2 – 90\lambda + 144 = -(\lambda – 8)(\lambda – 6)(\lambda – 3)$$

Els càlculs estàndard produeixen una base per a cada espai propi:
$$\lambda = 8: \, v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}; \quad \lambda = 6: \, v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}; \quad \lambda = 3: \, v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Aquests tres vectors conformen una base per a $\mathbb{R}^3$. De fet, és fàcil comprovar que ${v_1, v_2, v_3}$ és una base ortogonal de $\mathbb{R}^3$. A continuació es presenten els vectors propis normalitzats a un:

$$u_1 = \begin{bmatrix} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \end{bmatrix}, \quad u_2 = \begin{bmatrix} -1/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \end{bmatrix}, \quad u_3 = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{bmatrix}$$

Siguin:
$$P = \begin{bmatrix} -1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{3} \\ 0 & 2/\sqrt{6} & 1/\sqrt{3} \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

Llavors $A = PDP^{-1}$, com és usual. Però aquesta vegada, com que $P$ és quadrada i té columnes ortonormals, resulta que $P$ és una matriu ortogonal i $P^{-1}$ és simplement $P^T$.