Aplicació del procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt

Apliqueu el procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt a la següent base per a $\mathbb{R}^3$: $$B = {(1, 1, 0), (1, 2, 0), (0, 1, 2)}$$

Aplicant el procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt es produeix:
$$w_1 = v_1 = (1, 1, 0)$$
$$w_2 = v_2 – \frac{v_2 \cdot w_1}{w_1 \cdot w_1} w_1 = (1, 2, 0) – \frac{3}{2} (1, 1, 0) = (1, 2, 0) – \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)$$
$$w_3 = v_3 – \frac{v_3 \cdot w_1}{w_1 \cdot w_1} w_1 – \frac{v_3 \cdot w_2}{w_2 \cdot w_2} w_2$$
$$= (0, 1, 2) – \frac{1}{2} (1, 1, 0) – \frac{1/2}{1/2} \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)$$
$$= (0, 1, 2) – \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) – (1/2, 3/2, 0)$$
$$= (0, 0, 2).$$

El conjunt $B’ = {w_1, w_2, w_3}$ és una base ortogonal per a $\mathbb{R}^3$. Per normalitzar cada un dels vectors de $B’$ s’obté:

$$u_1 = \frac{w_1}{|w_1|} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 1, 0) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$$
$$u_2 = \frac{w_2}{|w_2|} = \frac{1}{\sqrt{1/2}} \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$$
$$u_3 = \frac{w_3}{|w_3|} = \frac{1}{2} (0, 0, 2) = (0, 0, 1).$$

Així, $B” = {u_1, u_2, u_3}$ és una base orthonormal per a $\mathbb{R}^3$.