Determinació dels Valors Propis d’una Matriu

Determina els valors propis de \( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -6 \end{bmatrix} \).

Per obtenir tots els escalars ($\lambda$ tals que l’equació matricial $(A – \lambda I)x = 0$ tingui una solució no trivial, cal trobar tots els $\lambda$ tals que la matriu $A – \lambda I$ no sigui invertible, on:
$$A – \lambda I = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 3 & -6 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} \lambda & 0 \ 0 & \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 – \lambda & 3 \ 3 & -6 – \lambda \end{bmatrix}.$$

La matriu no és invertible quan el seu determinant és zero. Així, els valors propis de $A$ són les solucions de l’equació:
$$\text{det}(A – \lambda I) = \text{det} \begin{bmatrix} 2 – \lambda & 3 \ 3 & -6 – \lambda \end{bmatrix} = 0.$$
Recordem que per a una matriu $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, el determinant és:
$$\text{det} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad – bc.$$
Aleshores:
$$\text{det}(A – \lambda I) = (2 – \lambda)(-6 – \lambda) – (3)(3).$$
$$= -12 + 6\lambda – 2\lambda + \lambda^2 – 9,$$
$$= \lambda^2 + 4\lambda – 21,$$
$$= (\lambda – 3)(\lambda + 7).$$
Si $\text{det}(A – \lambda I) = 0$, aleshores $\lambda = 3$ o $\lambda = -7$. Per tant, els valors propis de $A$ són $\lambda = 3$ i $\lambda = -7$.